Eddig olyan rendszereket vettünk, ahol mind a beérkezési mind a kiszolgálási idők exponenciális eloszlásúak voltak, azonban a gyakorlatban az exponciális eloszlású kiszolgálási idők csak ritkán fordulnak elő, mivel legtöbbször a szóródási együttható értéke kisebb mint 1, így fontos az elméletet kiterjeszteni olyan esetekre is, ahol a kiszolgálás tetszőleges eloszlású. Ebben a fejezetben Poisson érkezéseket alkalmazunk valamint független általános eloszlású kiszolgálási időket.

Hatékonysági mérőszámok mint az átlagos várakozási idő vagy átlagos sorhossz, hasonlóan az rendszerhez a közép értékes módszer segítségével kiszámolhatóak. Egy beérkező igénynek először ki kell várnia az éppen kiszolgálás alatt álló igény kiszolgálásának végét, valamint az összes sorban elhelyezkedő igény kiszolgálását. A PASTA ( Poisson Arrivals See Time Average ), vagyis, hogy az érkezési pillanatban vett eloszlás megegyezik a tetszőleges pillanatban vett eloszlással, tulajdonságból tudjuk, hogy valószínűséggel talál az érkező igény legalább egy másik igényt kiszolgálás alatt.

Little-formula

Bebizonyítunk egy általános eredményt, az első Little-formulát, ami a beérkezési intenzitás, a rendszerben tartózkodó igények számának várható értéke és az igények rendszerbeli idejének várható értéke között ad meg egy egyszerű összefüggést.

Legyen a intervallum alatt beérkezett igények száma, a intervallum alatt a rendszerből kilépett igények száma. -t feltéve nyilvánvalóan .

Jelölje a intervallumban az átlagos beérkezési intenzitást

legyen a pillanatig felgyűlt összes igényidő, pontosabban az az idő, amit a időtartam során az igények összesen eltöltöttek a rendszerben. A mennyiség legyen az egy igényre eső rendszerbeli idő átlaga, a intervallum összes igényét figyelembe véve. Ezekből nyilván

Végül legyen a rendszerben tartózkodó igények átlagos száma a intervallumban:

Az utolsó három egyenletből

Sorbanállási rendszerünkben (ergodikusság esetén) léteznek az alábbi határértékek

Így

amelyet Little-formulának nevezünk.

A beágyazott Markov-láncok

A rendszer állapotát a rendszerben tartózkodó igények számaként - - értelmezve megfigyelhetjük a rendszer állapotváltozásait az idő függvényében. Ezek a változások közvetlen szomszéd típusúak, azaz ha igény van éppen a rendszerben, akkor a következő állapotában vagy lesz. A típusú átlépések száma legfeljebb eggyel különbözhet a típusú átlépések számától, ezért ha a rendszer elég sokáig működik, akkor a felfelé irányuló átlépések relatív gyakoriságának meg kell egyeznie a lefelé irányuló átmenetek relatív gyakoriságával. Így arra következtethetünk, hogy a beérkezések időpontjában észlelt rendszerállapot eloszlása meg kell, hogy egyezzen a távozások időpontjában észlelt rendszerállapot határeloszlásával .

Igazak a következő megállapítások

Poisson-folyamatú beérkezések esetén

Ha egy általános rendszerben az értékeit mindig csak eggyel változtatja és létezik a következő határeloszlások egyike, akkor a másik is létezik, és ezen határeloszlások egyenlőek:

Így az rendszerre

azaz a beérkezések, a távozások és a véletlenszerű megfigyelések egyensúlyi állapotban a rendszerbeli igények számának ugyanazt az eloszlását figyelik meg.

Fontosságuk miatt mind a két állítást bebizonyítjuk. Nézzük először az -et.

Vezessük be a következő jelöléseket

Legyen az az esemény, hogy egy beérkezés történik a intervallumban. Ekkor

Felhasználva a feltételes valószínűség definícióját

Az emlékezetnélküliség miatt az esemény nem függ a pillanatban a rendszerben tartózkodó igények számától, ezért

így

azaz

Ez természetesen a stacionárius valószínűségekre is igaz, azaz

-t is bebizonyítjuk, az felhasználásával. Jelölje a állapotban lévő rendszerbe történő beérkezések számát a intervallumban, és a intervallumban azon távozások számát, melyek után a rendszer az állapotba kerül. Feltételünkből következik, hogy

Továbbá, ha az összes távozások számát , az összes beérkezésekét pedig jelöli, akkor

A távozási pontokban észlelt határeloszlás felírható a következőképpen

Ha a számlálóhoz hozzáadunk és le is vonunk belőle -t, és a nevezőt felírjuk a fenti alakban, akkor

Mivel véges és -nek is annak kell lennie a stacionaritás feltétele miatt, (11.6)-ből és abból, hogy , egy valószínűséggel következik

Innen, az pontot is felhasználva kapjuk az állításunkat.

Várható értékes megközelítés

Jelölje az valószínűségi változó a kiszolgálási időt, a fennmaradó ( hátralevő) kiszolgálási időt. Az eddigiekhez hasonlóan könnyű látni, hogy

ahol a hátramaradt kiszolgálási idő várható értéke.

A Little-törvényt felhasználva,

Ezekből pedig az következik, hogy

A(11.7) formulát Pollaczek-Hincsin várható érték formulának nevezzük.

A következő részben megmutatjuk, hogy

amely a következő formában is írható

ahol a kiszolgálási idő relatív szórásnégyzetét jelöli. Fontos észrevétel, hogy az átlagos várakozási idő a kiszolgálási idő első két momentumától függ. Tehát nem elég tudni csak a kiszolgálási idő átlagát, de még a szórását is ismerni kell az átlagos várakozási idő kiszámításához.

Ezek után

Ebből a Little-formulát alkalmazva nyerjük az összefüggést az átlagos sorhosszra, vagyis

Az átlagos tartózkodási idő és a rendszerben tartózkodó igények várható száma nyilvánvalóan

11.9. Példa. Exponenciális kiszolgálási idők esetén , így az örökifjú tulajdonság miatt. Ebben az esetben a következőket kapjuk

11.10. Példa. Állandó kiszolgálási idők esetén , így . Ebben az esetben a következőket kapjuk

Az rendszer esetében láttuk, hogy

ezért a rendszerben tartózkodó igények számának generátorfüggvénye egyenlő a távozási pillanatban vett eloszlás generátorfüggvényével. Az is világos, hogy a rendszerben a távozás pillanatában annyi igény tartózkodik, amennyi bejött az éppen távozó igény tartózkodási ideje alatt. Ezért

Az ehhez tartozó generátorfüggvény

vagyis kifejezhető a tartózkodási idő Laplace-transzformáltjának a segítségével.

A generátorfüggvény és a Laplace-transzformált tulajdonságai miatt

Ebből az első deriváltra éppen a Little-formulát kapjuk, vagyis

A képlet segítségével magasabb momentumait, így a szórásnégyzetét is ki tudjuk számítani, ha ismerjük magasabb momentumait.

Hátralévő kiszolgálási idő

Tegyük fel, hogy egy igény akkor érkezik, amikor egy másik épp kiszolgálás alatt áll és jelölje ennek a teljes kiszolgálási idejét , vagyis ez egy megkülönböztetett kiszolgálási idő, olyan amelyikben igény érkezik. Jelölje az sűrűségfüggvényét,mely kiszámításhoz a kulcs az, hogy nagyobb a valószínűsége annak, hogy az igény akkor érkezik, amikor egy hosszú kiszolgálás van, mint annak, hogy rövid kiszolgálás történik. Tehát annak, hogy ideig tart arányosnak kell lennie -el valamint az hosszúságú kiszolgálási idők gyakoriságával, amelyet jelöl. Így a következőket írhatjuk fel

ahol a normalizáló konstans. Vagyis

ezért

Ebből az következik, hogy

Mivel az új igény beérkezése véletlenszerűen helyezkedik el az kiszolgálási időn belül így a hátralevő kiszolgálási idő várható értéke

11.11. Példa. paraméterű Erlang-eloszlású kiszolgálási idők esetén

így

vagyis

Látható, hogy a fenti módszerrel meg tudjuk határozni a hátralevő kiszolgálási idő sűrűségfüggvényét is, hiszen mivel a beérkezést egyenletesnek tételeztük fel

amelyből behelyettesítés után és szerint integrálva kapjuk, hogy

Így

ebből

Mutassuk meg, hogyan számolhatók az ilyen típusú integrálok !

Legyen egy tetszőleges, nemnegatív valószínűségi változó, amelynek létezik az -dik momentuma, ekkor

így

Mivel

ezért

melyből

azaz

Ezek után parciális integrálást alkalmazva és figyelembe véve az iménti határértéket, kapjuk

Ebből helyettesítést véve nyerjük, hogy

Pollaczek-Hincsin és Takács formulák

A következő összefüggéseket szokás Pollaczek-Hincsin transzformált egyenleteknek is nevezni.

melyekből deriválással a momentumok meghatározhatók és szerencsésebb esetekben a sűrűség- illetve az eloszlásfüggvények is.

Takács Lajos megmutatta, hogy

vagyis, hogy a várakozási idő momentumai a már meghatározott alacsonyabb rendű momentumok és a kiszolgálási idő megfelelő momentumai segítségével áll elő. Azt is láthatjuk, hogy a kiszolgálási időtől -el magasabb momentum létezését tételezzük fel.

Mivel és , függetlenek, ezért

így a tartózkodási idő magasabb momentumai is kiszámíthatók.

Ezen formulák alapján nem nehéz belátni, hogy

Az

alapján hosszadalmas számolással nyerjük, hogy

Mivel

ezért ismét hosszadalmas számolás révén

adódik.

Most vizsgáljuk meg a foglaltsági idő Laplace-transzformáltját!

Takács Lajos bebizonyította, hogy

vagyis explicite nem adható meg, hanem egy függvényegyenletet kell megoldanunk.

Azonban ennek segítségével magasabb momentumai meghatározhatók.

Nézzük meg -t! A jól ismert okok miatt

amit már korábban is megkaptunk az

relációból.

Hosszabb számolás után megmutatható, hogy

Ezek után nézzük meg a foglaltsági idő alatt kiszolgált igények számának a generátorfüggvényét!

Bebizonyítható, hogy

függvényegyenletet nyerjük, amit nehéz megoldani, de ebből deriválással a magasabb momentumok meghatározhatók.

Így

amit az

relációból is nyerhetünk, mint láttuk előzőleg, hiszen

Kissé hosszú számolás után megmutatható, hogy

Érdekességképpen megjegyezzük, hogy a , kiszámolásához nem kellett feltételezni -t, míg , , , -hez szükségünk volt rá.