12. fejezet - Véges-forrású rendszerek

12. fejezet - Véges-forrású rendszerek
Előző	III. rész - A sorbanállási elmélet alapjai	Következő

Eddig olyan rendszerekkel foglalkoztunk, ahol a beérkezések Poisson-folyamat szerint történnek. Ez más szóval azt is jelenti, hogy a forrásunk végtelen. Azonban a gyakorlatban is találhatók olyan problémák, amelyeknél a forrás véges. Tekintsük az ún. gépkiszolgálási problémát. Tegyük fel, hogy darab gép működik egymástól függetlenül. A gépek működési ideje valószínűségi változó. Miután a gép meghibásodik egy vagy több szerelő kijavítja, ahol a javítási idők is valószínűségi változók. Javítás után a gépek ismét dolgozni kezdenek, és az egész folyamat kezdődik előről. Látható, hogy teljesen hasonló problémával találkozunk a terminál-rendszereknél, ahol a gépek szerepét a terminálok, a szerelő szerepét a CPU veszi át. Mivel az utóbbi időben a számítógépek sztochasztikus modellezésében egyre nagyobb szerepet játszanak a sorbanállási rendszerek, jelen fejezetben gyakran használunk számítástechnikai kifejezéseket is.

Jelen problémakör a sorbanállási elmélet egyik legrégibb alkalmazási területe. Nagyon sok könyv és cikk foglalkozik vele különböző feltételek esetén. Összefoglaló áttekintést nyújt Sztrik János összegyűjtött irodalomjegyzéke, amely megtalálható az alábbi helyen

http://irh.inf.unideb.hu/user/jsztrik/research/fsqreview.pdf

12.1. 12.1. Az modell, Engset-féle veszteséges rendszer

Az rendszer esetén előfordulhat, hogy ha nincs szabad kiszolgáló az igényt nem tudjuk kiszolgálni ezért visszatér a forrásba, ahonnan ismét kiszolgálásra jelentkezik majd. A végtelen forrású rendszerekhez képest itt az igény nem vész el, hanem visszatér a forrásba. Könnyű látni, hogy a rendszerben tartózkodó igények száma szintén születési-halálozási folyam lesz a következő intenzitásokkal

ezért

amit csonkított binomiális eloszlásnak vagy Engset-eloszlásnak is neveznek.

Ez a véges forrású veszteséges rendszer, vagy más néven az Engset-féle rendszer eloszlása.

Az esetben, vagyis amikor minden igénynek saját kiszolgálója van, más szóval az igény nem vész el, az alábbi egyszerűbb képletet kapjuk

vagyis paraméterű binomiális eloszlásról van szó.

Ez annak valószínűsége, hogy egy konkrét igény a rendszerben van. Könnyű látni, hogy ez a formula esetben is igaz, hiszen ekkor

ha , ahol a forrásban eltöltött átlagos időt jelenti.

Az eddigiek alapján könnyű látni, hogy a rendszerjellemzők a következők lesznek

2. a forrásban tartózkodó igények átlagos száma

3. a forrás kihasználtsága

melyből

Ebből megmutatjuk, hogy átlagosan hányszor kell próbálkoznia egy igénynek, hogy kiszolgálásra kerüljön, vagyis

így az elutasítások átlagos száma .

Az igény blokkolásának valószínűsége a Bayes-tétel alapján könnyen kiszámítható, nevezetesen

Ezt az következő módon láthatjuk be

Jelölje véges-forrás esetén az igényvesztés valószínűségét, vagyis , melyet szokás Engset-féle veszteség-formulának is nevezni. Mutassuk meg, hogy milyen rekurzió írható fel rá!