12.3. 12.3. Inhomogén modellek

12.3. 12.3. Inhomogén modellek
Előző	12. fejezet - Véges-forrású rendszerek	Következő

A most ismertetett három inhomogén modell leírása megtalálható Csige László és Tomkó József [ 11 ] cikkében. A közölt numerikus eljárásokat egyszerű példákon keresztül szemléltetjük és összehasonlítjuk a különböző kiszolgálási elvekből adódó rendszerjellemzőket.

Adott, számú, gép meghibásodásainak javítását végezze egyetlen szerelő. Feltesszük, hogy a gépek működési időtartama exponenciális eloszlású, a -adik gépre paraméterrel, és a javítási idő is exponenciális eloszlású a paraméterrel. Mind a működési, mind a javítási idők teljesen függetlenek egymástól.

Tetszőleges pillanatban az gép közül néhány működhet, és a többi vagy javítás alatt van, vagy javításra várakozik. Jelölje , a pillanatban nem működő gépek számát. Ez még nem jellemzi kimerítően a rendszert. Meg kell mondanunk azt is, hogy melyek a nem működő gépek, és ezek közül melyiket javítja a szerelő. Tetszőleges -ra egy -dimenziójú vektort vezetünk be, melynek a komponensei a nem működő gépek indexeit jelölik. Ha a javítás a meghibásodás sorrendjében történik, azaz FIFO elv követése esetén a nem működő gépek felsorolása a meghibásodásuk sorrendjének felel meg. Így -ra a javítás alatt lévő gép indexét adja. A Processor Sharing (PS) elv követésekor, amikor az összes hibás gép javítás alatt van, és esetén e javítások mindegyike intenzitással folyik, az vektor elrendezése tetszőleges lehet. Ilyenkor a nagyság szerinti rendezésben állapodunk meg. Prioritásos kiszolgálás (PR) esetén a hibás gépeket indexük nagyságrendje szerint soroljuk fel, mivel az alacsonyabb indexű gép elsőbbséggel rendelkezik a magasabb indexű gépekkel szemben.

A gépkiszolgálás Markov-lánca alatt a

vektorfolyamatot értjük, ahol rendezését a különböző kiszolgálási elvek esetén az előbb elmondottak szerint kell érteni.

A folyamat folytonos idejű, véges állapotterű Markov- lánc. Ha a , , paraméterek mind pozitívak, akkor a lánc ergodikus.

12.3.1. 12.3.1. Az rendszer

A gépkiszolgálási probléma esetén ez a diszciplina azt jelenti, hogy a gépek javítása meghibásodásuk után rögtön megkezdődik, melynek intenzitása függ a mindenkori hibás gépek számától, és azzal fordítottan arányos. Ha egy gép javítás alatt van egy olyan idő alatt, amikor rajta kívül még más gép is hibás, akkor ezen idő alatt egy gép javítási ideje csak mennyiséggel halad előre.

Ekkor a folyamat állapotterét az számok kombinációi alkotják, és ezekhez még hozzá kell venni a pontot (minden gép működik). Legyenek a lánc pillanatbeli eloszlását leíró függvények. Ekkor a Kolgomorov-egyenletek a következők

ahol az egészeknek a nagyság szerinti rendezése, és

ahol a megfelelő indexek értelemszerű értékeket vesznek fel.

A stacionárius eloszlás, amely azonos a

, ergodikus eloszlással, a

homogén lineáris egyenletrendszernek a feltételt kielégítő egyértelmű megoldása, ahol az összegzés n elem összes kombinációira terjed ki. Egyszerű helyettesítéssel belátható, hogy ennek az egyenletrendszernek a megoldása a

ahol a normalizáló feltételből határozható meg.

12.3.2. 12.3.2. Az rendszer

A gépek javításai történjenek a meghibásodás sorrendjében. Ekkor a folyamat állapotterét elem összes rendű ismétlés nélküli variációi alkotják, amelyekhez még a pontot is csatolni kell ( a pont annak az esetnek a megfelelője, amikor mindegyik gép működik ).

A lánc pillanatbeli eloszlására vezessük be az alábbi függvényeket.

Ha jelöli a időpontban nem működő gépek számát, a nem működő gépek indexét meghibásodásuk sorrendjében, akkor a lánc pillanatbeli eloszlását leíró függvények:

ahol , . Ezek a függvények kielégítik a következő differenciálegyenlet-rendszert

A stacionárius eloszlás, mely azonos a

ergodikus eloszlással, a

homogén lineáris egyenletrendszerneik a feltételt kielégítő egyértelmű megoldása, ahol az összegzés n elem összes variációjára terjed ki.

Az egyenletrendszer könnyebben kezelhetővé válik, ha bevezetjük a következő vektorváltozókat. Legyen dimenziós vektor, amelynek a komponensei az számok -ad osztályú, lexikografikusan rendezett variációihoz tartozó valószínűségek. Ekkor az egyenletrendszer az alábbi differenciaegyenlet-rendszerbe megy át

Itt most -re -es mátrix, -re -es mátrix, és elemeik az egyenletrendszerből könnyen meghatározhatók.

Legyen és tetszőleges esetén . Ekkor , ahol .

Egy tetszőleges értékből a vektorok rendre meghatározhatók. A valószínűségeket a normalizáló feltétel figyelembe vétele után e vektorok komponensei szolgáltatják.

12.3.3. 12.3.3. Az rendszer

Abszolút prioritásos kiszolgálási elv esetén a folyamat állapotterét az számok kombinációi alkotják, és ezekhez még hozzá kell venni a pontot (minden gép működik).

Legyenek a lánc pillanatbeli eloszlását leíró függvények. Ekkor a Kolgomorov-egyenletek a következők

A stacionárius eloszlás, amely azonos a

, ergodikus eloszlással, a

homogén lineáris egyenletrendszernek a feltételt kielégítő egyértelmű megoldása, ahol az összegzés elem összes kombinációra terjed ki.

Az egyenletrendszer megoldásához, hasonlóan a meghibásodás sorrendjében történő kiszolgálás esetéhez, vezessük be a következő vektorváltozókat.

Legyen dimenziós vektor, amelynek a komponensei az számok -ad osztályú, lexikografikusan rendezett kombinációhoz tartozó valószínűségek. Ekkor az egyenletrendszer az alábbi differencia egyenletrendszerbe megy át.

Itt most -re -es mátrix, -re -es mátrix, és elemeik egyenletrendszerből kiolvashatók. Ezt a differencia egyenletrendszert ugyanúgy oldhatjuk meg, mint a FIFO kiszolgálás esetén.