12.5. 12.5. Az  modell | ||
|---|---|---|
| Előző | 12. fejezet - Véges-forrású rendszerek | Következő |
Az előző modellben adott feltevéseinke<t most csupán annyiban változtatjuk, hogy az 
számú terminált 
szerver szolgálja ki 
. így 
esetén a 
állapot azt jelenti, hogy éppen 
db terminál igénye van kiszolgálás alatt, egyetlen várakozó igény sincs és 
szerver tétlen. A szerverek tevékenységüket egymástól függetlenül végzik. Ekkor is egy születési-halálozási folyamatot kapunk:
intenzitásokkal.
Az egyensúlyi eloszlás
Természetesen teljesülnie kell a
összefüggésnek. 
meghatározására ez a képlet túlságosan bonyolult, így egy egyszerűbb rekurzív formulát használunk.
Jelöljük 
-val a következő hányadost
Ekkor a következő összefüggés alapján számolhatunk
Mivel a
összefüggésnek teljesülnie kell, ezért
Mindkét oldalt 
-al elosztva
így
Majd
Ezek után a szokásos módon megadhatjuk a rendszerjellemzőket
1. A rendszerben tartózkodó igények átlagos száma
2. A várakozási sor átlagos hossza
3. Az igény generálásra alkalmas terminálok átlagos száma
4. A rendszer kihasználtsága
5. A rendszer átlagos foglaltsági periódushossza
6. A foglalt kiszolgálóegységek átlagos száma
Továbbá
7. A tétlen kiszolgálóegységek átlagos száma
További összefüggés
8. A terminálok kihasználtsága
9. A terminálok átlagos várakozási ideje
amiből
Az átlagos válaszolási idő
innen
ami a jól ismert Little-formula, azaz az átlagos beérkezési intenzitás és a rendszerben töltött átlagos idő szorzata a rendszerben tartózkodó igények átlagos számával egyenlő. Ebből
vagyis
Mutassuk meg, hogy
mert ebből
következik, ami szintén egy Little-formula.
Tudjuk, hogy
ahol
Jól ismert továbbá, hogy
Ekkor
Vagyis
más alakban
azaz
ami várható volt, mivel a rendszer egyensúlyi állapotban van. Ezért
10. A kiszolgálók átlagos tétlenségi periódushossza
Ha a tétlen kiszolgálók olyan sorrendben kezdik kiszolgálni az igényeket, mint amilyen sorrendben előzőleg befejezték a foglaltsági periódusokat, akkor egy szerver tevékenységét a következőképpen írhatjuk le. Ha egy tétlenné vált szerver 
másik tétlen szervert talál a munka befejeződés pillanatában, akkor csak a 
-edik igény kiszolgálásával kezdődik ismét a foglaltsági periódusa.
Jelölje 
a szerver átlagos üresjárati periódusa hosszát, 
pedig a fenti állapotban az átlagos tétlenségi időt. Nyilvánvalóan
pedig a teljes várható érték tétele alapján
ahol
azaz annak valószínűsége, hogy van tétlen szerver.
11. A szerverek átlagos foglaltsági periódushossza
Mivel
így
Vagyis
Megmutatjuk hogyan lehet meghatározni 
rendszer esetén a várakozási és tartózkodási idő sűrűségfüggvényét, majd ebből az eloszlásfüggvényeket.
ha 
, akkor
melyből
Könnyű látni, hogy
éppen a várakozás valószínűsége. Fejezzük ki 
-t más alakban is, mert erre később szükségünk lesz! A helyettesítés után
Megmutatjuk, hogy
amiből
ami éppen azt jelenti, hogy nincs várakozás. Ebből deriválással megkapjuk a sűrűségfüggvényt, ami
Ha 
-t vesszük, vagyis a 
pontot kihagyjuk belőle, akkor
Ha bevezetjük az 
helyettesítést, akkor 
és csak az integrál a következő alakot ölti
vagyis
amint ez várható volt. Ezért
Most határozzuk meg a sűrűségfüggvényt 
-ra! Vagyis
ugyanazt kapjuk, de tudni kell, hogy
Ebből
Ezért
amit már korábban is megkaptunk. Ellenőrzésképpen vizsgáljuk meg a képletet 
esetre! Ekkor
de
így
A tartózkodási idő eloszlásfüggvényének a meghatározása hasonló elven történik, mint a várakozási idő esetében tettük, de eléggé hosszadalmas.
Bizonyítható, lásd Allen [
2
], Kobayashi [
42
], hogy 
esetben
ahol
Ebből deriválással
A normalizáló konstansra itt is felírható egy rekurzió, nevezetesen
a
kezdei értékből kiindulva.
Először határozzuk meg a várakozási idő Laplace-transzformáltját!
Az eddigiekhez hasonlóan könnyű látni, hogy
Lépésről-lépésre számítjuk ki a kívánt mennyiségeket
Továbbá
ahol 
. Ezt tovább folytatva az utolsó egyenlőség így írható
Ezek után
Ellenőrzésképpen vizsgáljuk meg az 
esetet!
Ekkor
amit korábban is kaptunk.
Ezek után nyilvánvaló, hogy
ami r=1 esetben a
formulát adja.
| Java-applet a rendszerjellemzők meghatározására |
12.3. Példa. Egy üzemben 
db gép üzemel, egyenként 
óra átlagos élettartammal. A gép javításának várható értéke 
óra, a szereléseket 
fős szerelőgárda végzi. Adjuk meg a rendszer jellemzőit, és hasonlítsuk össze őket az előző példában szereplő jellemzőkkel!
Megoldás:
A rekurzív összefüggéseket használva, 
-ről indítva a rekurziót,
könnyen meghatározhatjuk az 
értékeket, pl
és így tovább.
Tudjuk, hogy
Innen
A következő táblázat megadja a különböző állapotok valószínűségét.
, 
, 
Összehasonlítva a megfelelő példában szereplő jellemzőkkel, láthatjuk, hogy az egy javítóra jutó gépek majdnem egyforma száma mellett (
ill. 
) a helyzet sokkal jobb 
gép és 
szerelő esetében, ugyanis a hatékonysági vizsgálatok az alábbi adatokat szolgáltatták
12.4. Példa. Az előző problémában 
, 
volt. Tételezzük fel, hogy az időegység az óra, hogy a gépállás óránkénti költsége 
Ft, míg a szerelők óránkénti költsége 
Ft. Mi lesz ebben ez esetben a szerelők optimális száma?
Megoldás: Látható, hogy az óránkénti átlagos költség 
függvénye.
A következő táblázat megadja a stacionárius eloszlást 
esetén (tapasztalatból tudjuk, hogy az 
számra 
).
A következő táblázat az időegységre jutó költségeket adja meg:
Látható, hogy az optimális szerelőszám ilyen költségtényezők mellett 
.
Ez a példa is mutatja, hogy rendszerek összehasonlítása többféleképpen értelmezhető.
Az említett példák jól szemléltetik ezt a problémakört.
rendszer