Oldjuk meg a

egyenletrendszert differencia-egyenletek segítségével!

Megoldás:

Látható, hogy az iménti egyenlet átírható a

formába, amely tekinthető egy konstans együtthatós másodrendű differencia-egyenletnek. Ennek általános megoldása

ahol megoldása a

egyenletnek. Könnyen kiszámítható, hogy és így

Azonban , így mivel , és .

rendszer esetén a stacionárius állapotegyenletek segítségével határozzuk meg a rendszerben tartózkodó igények generátorfüggvényét, majd ebből az eloszlást!

Megoldás: Kiindulva a

egyenletekből tényezővel megszorozva majd az egyenleteket összeadva kapjuk, hogy

Ebből

Mivel , ezért

Vagyis

ami éppen az paraméterű módosított geometriai eloszlás generátorfüggvénye, amit könnyű ellenőrizni, hiszen

esetén

<\sol>

Határozzuk meg most -t is!

Megoldás:

Nyilván

Ellenőrzésképpen

esetben határozzuk meg a és Laplace-transzformáltját!

Megoldás:

Könnyű látni, hogy

amit vártunk, hiszen paraméterű exponenciális eloszlást követ.

ami láthatóan nem más, mint

hiszen

Számolás útján is megmutatható, hogy

Ebből és ellenőrzésképpen kiszámítható.

így

amit korábban is kaptunk.

Mutassuk meg, hogy egy -rendszer esetén

Megoldás: Közismert, hogy esetén

Mivel ezért elegendő megmutatni, hogy

Ezt a L'Hospital-szabály alkalmazásával bizonyítjuk be.

Mutassuk meg, hogy egy -rendszer esetén az

Laplace-transzformáltra igaz, hogy !

Megoldás:

rendszer esetén a Laplace-transzformált segítségével határozzuk meg a -t!

Megoldás:

képletből kiindulva

vagyis

amit korábban kaptunk. Hosszadalmasabb számolással a magasabb momentumok is megadhatók.

Tekintsünk egy csomópontból álló zárt sorbanállási hálózatot, amelyben igény tartózkodik! Tegyük fel, hogy mindkét helyben a kiszolgálási idők illetve paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változók. Határozzuk meg mindkét helyben a rendszer jellemzőit!

Megoldás: Könnyű észrevenni, hogy a két csomópont teljesen hasonlóan működik és tekinthető típusú sorbanállási rendszernek. Ennek megfelelően számíthatók ki a rendszerjellemzők illetve paraméterekkel. Az is látható, hogy

ahol , a csomópont kiszolgáló egységének a kihasználtsága.

esetén határozzuk meg a generátorfüggvényt!

Megoldás:

Ellenőrzésképpen számítsuk ki ! , ezért

Így

amit már megmutattunk.

Határozzuk meg az rendszernél -t!

Megoldás:

miatt először az -t számítjuk ki.

Mivel , ezért

Mutassuk meg, hogy mindig monoton csökkenő sorozat és határértéke 0!

Megoldás:

ezért növekedésével -hoz tart. A monoton csökkenés azzal ekvivalens, hogy

vagyis

ami automatikusan teljesül, ha . Ugyanakkor miatt , melyből , , vagyis adódik. Ez együtt az jelenti, hogy monoton csökkenő sorozat, ami várható volt, hiszen ha a kiszolgálók számát növeljük, akkor az igényvesztés valószínűségének csökkeni kell.

Keressünk a -formulára rekurziót!

Megoldás: Legyen , ekkor a

segítségével -ra rekurziót tudunk felírni, hiszen -ra is van. Ezért az eljárás az lesz, hogy megmutatjuk, hogy hogyan fejezhető ki segítségével, majd a

rekurzióba behelyettesítve kapjuk meg a kívánt formulát. Fejezzük ki először -t segítségével, vagyis

ami pozitív mert az rendszer stabilitása miatt, és azt mutatja, hogy

ami várható volt a probléma jellegéből adódóan. Ezért

és kell, hogy legyen! Először -t kifejezzük segítségével, majd elvégezzük a behelyettesítést. Ezért

Ide behelyettesítjük a -t. Írjuk fel egyszerűbben a számlálót és a nevezőt.

Ezért

és kezdőértékből kiindulva a várakozás valószínűségét rekurzive meghatározhatjuk. Ez azért fontos, mert a rendszerjellemzők ettől a mennyiségtől függnek. Látható, hogy

ezért megmutatjuk, hogy

melyből

ami várható volt.

vagyis ha akkor a parabola értékei pozitívak, ami teljesül hiszen a stabilitás feltétele volt. Könnyű látni, hogy a

összefüggésből , ami várható volt. Ezt közvetlenül a

képletből is láthatjuk, hiszen

ami szintén várható volt, hiszen a végtelen kiszolgálós rendszerekben nincs igényvesztés.

Ellenőrizzük, hogy az -rendszerre kapott eloszlásfüggvény az esetben az esetben megismert összefüggést adja!

Megoldás:

Így

Mutassuk meg, hogy az rendszer esetén !

Megoldás:

ezért alkalmazzuk a L'Hospital szabályt. Könnyű látni, hogy

és ebből

Mutassuk meg, hogyha egy -rendszer esetében a hátramaradt kiszolgálási időt jelöli, akkor !

Megoldás:

Parciális integrálással

Ellenőrizzük a határértéket! Látható, hogy

ezért L'Hospital-szabályt alkalmazunk. Így

Az segítségével mutassuk meg, hogy ha , akkor !

Megoldás:

így .

Az -re vonatkozó formulákból rendszerre származtassuk a megfelelő formulákat!

Megoldás:

Ebben az esetben

ezért a tartózkodási idő Laplace-transzformáltja

vagyis , mint láttuk.

A rendszerben tartózkodó igények generátorfüggvénye

mint láttuk az esetben.

Az átlagos várakozási és tartózkodási idők

Most vizsgáljuk meg a szórásnégyzeteket!

így

mint láttuk. Továbbá

mint láttuk korábban.

Végül

Ezekre az ellenőrzésekre azért van szükség, hogy kiderüljön egyszerű esetekben a bonyolult formulák egyszerű eredményt adnak-e.

A

transzformált egyenlet alapján határozzuk meg -t!

Megoldás: Jól ismert, hogy , ezért ki kell számolnunk a jobb oldal deriváltját, amiben az tényező helyen határozatlan értéket ad, ezért alkalmazni fogjuk a L'Hospital-szabályt. Vezessük be az

függvényt!

Így látható, hogy

Az

sorfejtést felhasználva, vegyük észre, hogy

Így és .

Ezek után

és ebből

amit más úton már megkaptunk.

Az segítségével határozzuk meg -t!

Megoldás: Legyen

ami sorba fejtve tovább egyenlő

Ezért

Ebből

Ezek után látható, hogy

miatt

Ebből

hasonlóan

Ebből

Ezek után

A Laplace-transzformált segítségével mutassuk meg, hogy

Megoldás: Mint már láttuk

és az is közismert, hogy

Hasonlóan -re, kapjuk

Ezért

Ebből

Határozzuk meg egy kiszolgálási idő alatt érkező igények számának az eloszlását esetén!

Megoldás: A teljes valószínűség tétele alapján

Generátorfüggvénye