14. fejezet - Szállítási feladat

14.1. 14.1. A szállítási feladat megfogalmazása

Legyenek adottak a termelők (vagy termelőhelyek), amelyek rendre kínálattal rendelkeznek és az fogyasztók (vagy fogyasztóhelyek), amelyek kereslete (igénye) rendre . Legyenek továbbá adottak a szállítás egységköltségek, amelyek a termelőtől az fogyasztóhoz történő egységnyi mennyiségú árú szállításának költségét jelentik. A megadott adatok legyenek nemnegatív egészek. A szállítási feladat az alábbi sémával jellemezhető:

Tegyük fel, hogy az összkínálat egyenlő az összkereslettel, azaz

Ezt az összefüggést a kereslet-kínálat egyensúlyának is szokás nevezni.

Az alábbiakban megfogalmazzuk a szállítási feladatot (ezt nevezzük primál feladatnak), majd ezután a szállítási feladat duál feladatát ismertetjük.

A szállítási feladat (primál feladat):

Határozzuk meg azt a szállítást, amely a keresletet és a kínálatot kielégíti és a szállítási összköltség minimális feltéve, hogy a szállítási költség arányos a szállítási mennyiséggel.

A feladat tehát feltételezi a linearitást. Talán jobban érthető a feladat, ha a kínálatok és a keresletek rakományban vannak kifejezve és a szállítási egységköltség egy rakomány elszállításának költségét jelenti.

Jelölje a termelőtől az fogyasztóhoz szállítandó mennyiséget. A kínálat kielégítése azt jelenti, hogy minden termelőtől a kínálatának megfelelő mennyiséget kell elszállítani, azaz bármelyik termelőtől az összes fogyasztóhoz szállított mennyiség összege egyenlő legyen a termelő kínálatával. A kereslet kielégítése pedig azt jelenti, hogy minden fogyasztóhoz az igényének megfelelő mennyiségű árut kell szállítani, azaz bármelyik fogyasztóhoz az összes termelőtől szállított mennyiség összege egyenlő legyen az fogyasztó keresletével. A kínálat és a kereslet kielégítése maradéktalanul teljesíthető a kereslet-kínálat egyensúlya miatt. A szállítási összköltséget pedig a linearitás miatt a szállított mennyiségek és a szállítási egységköltségek szorzatának az összege adja.

A szállítási feladat matematikai megfogalmazása:

Meghatározandók az egész számok úgy, hogy

feltételek teljesülése mellett a

mennyiség minimális legyen.

A szállítási feladat duál feladata:

Az eredeti feladatot a termelőknek kell megoldaniuk, vagyis az árukat a fogyasztókhoz elszállítani. Tételezzük fel, hogy van egy vállalkozó, aki a termelőtől áron felvásárolja az áru egységét, majd elszállítja az fogyasztóhoz és ott áron eladja (visszaadja) a termelőnek. Nyilván az , felvásárlási, ill. eladási egységáraknak olyannak kell lenniük, hogy a termelőknek megérje a vállalkozóval való szállítás. A termelőnek az fogyasztóhoz való szállításnál akkor éri meg igénybe venni a vállalkozó szolgáltatását, ha így nem kerül többe a szállítás, mintha maga végezné a termelő, azaz minden lehetséges szállítási viszonylatban fenn kell állnia a összefüggésnek.

Ha tehát biztosítva van a fenti feltétellel, hogy a vállalkozó kapja meg az összes szállítást, akkor a vállalkozó a fenti összefüggéseket kielégítő árrendszert úgy fogja megválasztani, hogy a szállítással elért haszna a legnagyobb legyen, amit a bevételeinek és a kiadásainak a különbsége ad meg. Ezek után a szállítási feladat duál feladatának matematikai megfogalmazása a következő:

Meghatározandók az és egész számok úgy, hogy

feltételek teljesülése mellett a

mennyiség maximális legyen.