6.3. 6.3. Lineáris kód

6.16. Definíció. Legyen típusú mátrix, ahol A kód lineáris, ha

A mátrixot generáló mátrixnak nevezzük. A vektor transzponáltjának a jele

6.4. Példa.

Éppen az (A) csoportkódot adja meg.

6.17. Tétel. A lineáris kód csoportkód.

Bizonyítás.

azaz mivel csoport, így van zérusvektor. Nem vezet ki a művelet a halmazból és létezik inverz elem hiszen minden elem a saját inverze.

6.18. Definíció. Legyen típusú egységmátrix. A generátor mátrixú kódot szisztematikus kódnak nevezzük.

Néhány elnevezés:

paritásmátrix,

paritásellenőrző mátrix (),

paritásvektor.

6.19. Definíció. Legyen egy vett kódszó a csatornakimeneten. Az vektort a vektorhoz tartozó szindrómának nevezzük, ha

6.20. Tétel. A szindróma akkor és csak akkor zérusvektor, ha a vett szó kódszó.

6.21. Megjegyzés. A szindrómák egy osztályozást adnak.

6.22. Tétel. A csatorna kimenetén vett azonos mellékosztályokba tartozó szavak szindrómája azonos, különböző mellékosztályokhoz tartozóké különböző.

szisztematikus kód esetén: csoport, a generálás után részcsoport meghatároz egy mellékosztályra bontást. Készítsük el a mellékosztálytáblázatot, majd ebből a dekódolási táblázatot, azaz minden mellékosztályban kiválasztjuk a mimimális normájú osztályelemet. Ezzel az osztályelemmel generáljuk a mellékosztályt.

6.5. Példa. A

generátormátrixhoz készítsük el a mellékosztály táblázatot!

A következő mellékosztálytáblázat első sorában van a generált csoportkódunk, s a további sorokban egy-egy mellékosztály:

Egy mellékosztálytáblázat akkor jó dekódolási táblázatnak, ha minden sorban a legkisebb normájú elem az első. Ezek az ún. osztályelsők. Jól látható, hogy ez nem teljesül a 6. és a 7. sorban, így ezeket a sorokat újraszámoljuk.

Dekódolási táblázat:

Természetesen előfordulhat, hogy a normák megegyeznek, akkor választunk egyet.

A kódolás menete: kiválasztjuk a kódszót a táblázatban, majd hozzárendeljük az oszlop tetején lévő kódszót. Ehhez pedig az eredeti kódot.

Legyen ami a hatodik sor második oszlopban található. Az oszlop tetején lévő elem: amelyhez eredetileg a kódszó tartozik. Ekkor feltételeztük, hogy a hibavektor a hatodik sor első eleme.

6.23. Tétel. A dekódolási táblázatban bármely szó távolsága a saját oszlopa tetején álló kódszótól nem nagyobb, mint bármely más kódszótól.

6.24. Megjegyzés. A dekódolási táblázat alkalmas maximum likelihood kódolásra.

6.25. Megjegyzés. Az osztályelső alakú hibák javíthatók.

6.26. Megjegyzés. A helyes dekódolás valószínűsége megegyezik az osztályelső alakú hibák valószínűségeinek az összegével.