8.2. 8.2. Konvex függvények

8.1. Definíció. Legyen egy intervallum (zárt, nyílt, félig zárt). Az konvex függvény, ha

ahol és

8.2. Tétel. Ha és konvex függvény és akkor szintén konvex.

8.3. Tétel. Véges sok konvex függvény összege is konvex.

8.4. Tétel. Konvex függvények egy konvergens sorozatának a (pontonkénti) határa is konvex.

8.5. Tétel. Ha konvex függvény és akkor

Ha szigorúan konvex, akkor az egyenlőtlenségek is szigorúak.

8.6. Tétel. Ha konvex függvény és akkor létezik a bal- és jobboldali derivált minden esetén. Továbbá, és monoton nemcsökkenő és

Ezenkívül minden esetén

azaz a konvex függvény minden pontjához létezik egyenes ( amely az adott ponton keresztül megy), amely a görbe alatt marad vagy legfeljebb érinti azt.

8.7. Tétel. Az konvex függvény folytonos az intervallum minden belső pontjában.

8.8. Tétel. Legyen nyílt és kétszer differenciálható. Az konvex akkor és csak akkor, ha minden

8.9. Tétel. (Jensen-egyenlőtlenség) Ha konvex függvény és olyan valószínűségi változó, amelyre létezik és akkor

Bizonyítás. Legyen a támasztóegyenes az függvényhez az pontban, akkor

8.10. Megjegyzés.