8.5. 8.5. Valószínűség-számítás összefoglaló

8.5.1. 8.5.1. A valószínűség fogalma

8.15. Definíció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeinek összességét eseménytérnek (mintatér) nevezzük. Jele: Az elemeit elemi eseményeknek nevezzük.

8.16. Definíció. Az részhalmazainak egy rendszerét -algebrának nevezzük, ha

(1)

(2) akkor

(3) akkor

Az elemeit pedig eseményeknek nevezzük.

8.17. Megjegyzés. Ha akkor .

8.18. Definíció. Az -t szokás biztos eseménynek, az -t pedig lehetetlen eseménynek nevezni. Továbbá, az esemény bekövetkezik, ha a kísérlet eredménye eleme az halmaznak.

8.19. Megjegyzés. Az esemény bekövetkezik, ha legalább az egyik közülük bekövetkezik, míg az esemény akkor következik be, ha mind a kettő bekövetkezik.

8.20. Definíció. A nemnegatív leképezést valószínűségnek nevezzük, ha

(1)

(2) akkor

(3) egymást kölcsönösen kizáró események (azaz ha és ), akkor

8.21. Lemma.

(1)

(2)

(3)

(4) Ha akkor

(5)

(6) Ha és akkor

8.22. Definíció. Az hármast valószínűségi mezőnek nevezzük.

8.23. Definíció. Ha az elemi események száma véges és valószínűségük megegyezik, akkor a valószínűségi mezőt klasszikusnak nevezzük.

8.24. Megjegyzés. Legyen és jelölje az elemi eseményeket Ekkor

Tehát

8.25. Definíció. Bernoulli kísérletsorozatnak nevezzük azt, ha adott és egymástól függetlenül, azonos körülmények között elvégezzük ugyanazt a kísérletet, s „csak” azt figyeljük, hogy az esemény bekövetkezett-e vagy sem.

8.1. Példa. Visszatevéses mintavétel: Adott darab különböző objektum, amelyek közül darab rendelkezik egy bizonyos tulajdonsággal, például selejt. Visszatevéssel kiveszünk darabot. Legyen a kivett selejtek száma Mennyi a valószínűsége, hogy ahol

8.2. Példa. Visszatevés nélküli mintavétel: Adott darab különböző objektum, amelyek közül darab rendelkezik egy bizonyos tulajdonsággal, például selejt. Visszatevés nélkül kiveszünk darabot. Legyen a kivett selejtek száma Mennyi a valószínűsége, hogy ahol

8.26. Tétel. (Poincaré) Az eseményekre

ahol az összegzést az összes lehetséges esetre tekintjük.

8.27. Definíció. Az esemény feltétel melletti feltételes valószínűségének nevezzük a

mennyiséget, ha

8.28. Megjegyzés. A leképezés tényleg valószínűség.

8.29. Lemma. Ha az eseményrendszerre akkor

8.30. Definíció. Az eseményrendszert teljes eseményrendszernek nevezzük, ha

( és ) és

8.31. Tétel. (teljes valószínűség) Ha teljes eseményrendszer és ha akkor tetszőleges esemény esetén

8.32. Tétel. (Bayes) Ha teljes eseményrendszer és ha akkor tetszőleges pozitív valószínűségű esemény esetén

8.33. Megjegyzés. A Bayes-tételhez kapcsolódóan bevezethetjük a következő elnevezéseket: az ún. a-priori valószínűség és az ún. a-posteriori valószínűség.

8.34. Definíció. Az és eseményt sztochasztikusan függetlennek nevezzük, ha

Az eseményeket páronként sztochasztikusan függetlennek nevezzük, ha

Az eseményeket teljesen sztochasztikusan függetlennek nevezzük, ha

ahol

8.35. Lemma. Ha az és események függetlenek, akkor és , és és és is függetlenek.

8.36. Lemma. Ha független események és akkor

Bizonyítás.

8.5.2. 8.5.2. A valószínűségi változó

8.37. Definíció. A leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

8.38. Definíció. Az formulával meghatározott valós függvényt a valószínűségi változó eloszlásfüggvényének nevezzük.

8.39. Tétel. Az valós függvény akkor és csak akkor lehet eloszlásfüggvény, ha

1.

2.

3. ha azaz monoton növekvő,

4. azaz balról folytonos.

8.40. Tétel. Legyen a valószínűségi változó eloszlásfüggvénye és ekkor

1.

2.

8.41. Definíció. A valószínűségi változót diszkrétnek nevezzük, ha a lehetséges értékek halmazának számossága legfeljebb megszámlálhatóan végtelen.

8.42. Megjegyzés. Diszkrét valószínűségi változó esetén a lehetséges értékek felírhatók egy sorozatként.

8.43. Definíció. Legyen a valószínűségi változó lehetséges értekeinek sorozata A valószínűségek sorozatát eloszlásnak nevezzük.

8.44. Tétel. Ha eloszlás, akkor

8.45. Definíció. Ha létezik nemnegatív valós függvény, melyre

akkor az eloszlásfüggvényhez tartozó sűrűségfüggvény.

8.46. Megjegyzés. A sűrűségfüggvény nem egyértelmű.

8.47. Tétel. Az valós függvény akkor és csak akkor lehet sűrűségfüggvény, ha nemnegatív és

8.48. Definíció. A valószínűségi változót folytonosnak nevezzük, ha létezik a sűrűségfüggvénye.

8.49. Tétel. Legyen a folytonos valószínűségi változó sűrűségfüggvénnyel és ekkor és

8.50. Definíció.

1. Ha a diszkrét valószínűségi változó lehetséges értékeinek a száma véges, azaz a lehetséges értékek

akkor a

mennyiséget várható értéknek nevezzük.

2. Ha a diszkrét valószínűségi változó lehetséges értékeinek számossága megszámlálhatóan végtelen, azaz a lehetséges értékek

akkor a

mennyiséget várható értéknek nevezzük, ha

3. Ha folytonos valószínűségi változó sűrűségfüggvénnyel, akkor a

mennyiséget várható értéknek nevezzük, ha

A valószínűségi változó várható értékének a jele:

8.51. Tétel.

1.

2. Ha akkor

8.52. Definíció. Legyen valószínűségi változó és valós függvény. Ha az függvény valószínűségi változó, akkor a transzformáltjának nevezzük.

8.53. Megjegyzés. A transzformált eloszlásfüggvénye

8.54. Tétel. Ha differenciálható és akkor folytonos valószínűségi változó esetén folytonos valószínűségi változó, melynek sűrűségfüggvénye

ahol

8.55. Tétel. Ha a valószínűségi változó transzformáltja, akkor

8.56. Definíció. Az mennyiséget a valószínűségi változó szórásnégyzetének nevezzük. Jele:

8.57. Definíció. A mennyiséget a valószínűségi változó szórásának nevezzük. Jele:

8.58. Definíció. Az mennyiséget a valószínűségi változó -adik momentumának nevezzük.

8.59. Definíció. Az mennyiséget a valószínűségi változó -adik centrális momentumának nevezzük.

8.60. Tétel.

1.

2. és ekkor

3.

8.5.3. 8.5.3. Néhány diszkrét eloszlás és jellemzői

1. BINOMIÁLIS ELOSZLÁS

Legyen és végezzünk el egy hosszúságú Bernoulli kísérletsorozatot. Továbbá, legyen az esemény bekövetkezéseinek a száma. Ekkor eloszlása

ahol és

8.61. Megjegyzés. A visszatevéses mintavétel binomiális eloszláshoz vezet.

2. POISSON-ELOSZLÁS

Legyen és ekkor

A valószínűségi változót Poisson-eloszlásúnak nevezzük paraméterrel, ha eloszlása

3. GEOMETRIAI ELOSZLÁS

A binomiális eloszlás bevezetésekor használt jelölések mellett a valószínűségi változó jelentse az esemény első bekövetkezéséhez szükséges kísérletek számát. A eloszlása

8.62. Megjegyzés. A valószínűségi változót is szokás geometriai eloszlásúnak nevezni. Az eloszlása

.

8.5.4. 8.5.4. Néhány folytonos eloszlás és jellemzői

1. EGYENLETES ELOSZLÁS

Legyen és A egyenletes eloszlású az intervallumon, ha a sűrűségfüggvénye

Az eloszlásfüggvény

2. EXPONENCIÁLIS ELOSZLÁS

A exponenciális eloszlású paraméterrel, ha a sűrűségfüggvénye

Az eloszlásfüggvény

Örökifjú tulajdonság: ahol

3. NORMÁLIS ELOSZLÁS

Legyen Az normális eloszlású, ha a sűrűségfüggvénye

Ha és akkor a valószínűségi változót standard normális eloszlásúnak nevezzük. Jelölje a sűrűségfüggvényét és az eloszlásfüggvényét Ha standard normális eloszlású, akkor az valószínűségi változó eloszlásfüggvényére jellemző, hogy

8.63. Megjegyzés. A függvény írja le a Gauss-görbét (harang görbét). és

4. CAUCHY-ELOSZLÁS

Legyen Az Cauchy-eloszlású, ha a sűrűségfüggvénye

Nem létezik a várható érték. Az eloszlásfüggvény

8.64. Megjegyzés. Szokás csak a esetet (standard) Cauchy-eloszlásnak nevezni.

8.5.5. 8.5.5. A véletlen vektorok

8.65. Definíció. A leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha

8.66. Definíció. Az formulával meghatározott valós értékű függvényt a véletlen vektor együttes eloszlásfüggvényének nevezzük. Az

függvényeket peremeloszlásfüggvénynek nevezzük.

8.67. Tétel. Az függvény akkor és csak akkor lehet együttes eloszlásfüggvény, ha

1.

2.

3. mindkét változójában balról folytonos,

4. esetén, azaz teljesül az ún. „téglalap” tulajdonság.

8.68. Megjegyzés. A téglalap tulajdonságból következik, hogy mindkét változójában monoton növekvő.

8.69. Definíció. A véletlen vektort diszkrétnek nevezzük, ha a lehetséges értékek számossága legfeljebb megszámlálhatóan végtelen.

8.70. Definíció. Legyen a illetve valószínűségi változó lehetséges értekeinek sorozata illetve A valószínűségek sorozatát együttes eloszlásnak nevezzük. A

valószínűség sorozatokat peremeloszlásnak nevezzük. Minden esetén a feltételes eloszlása adott mellett

Az

mennyiséget feltételes várható értéknek nevezzük. Az

függvényt a -nek az -ra vonatkozó regressziós függvényének nevezzük.

8.71. Tétel. Ha együttes eloszlás, akkor

8.72. Definíció. Ha létezik nemnegatív valós értékű függvény, melyre

akkor az eloszlásfüggvényhez tartozó együttes sűrűségfüggvény. Az

függvényeket peremsűrűségfüggvénynek nevezzük.

8.73. Tétel. Az függvény akkor és csak akkor lehet együttes sűrűségfüggvény, ha nemnegatív és

8.74. Definíció. A véletlen vektort folytonosnak nevezzük, ha létezik az együttes sűrűségfüggvénye.

8.75. Definíció. A és valószínűségi változót függetlennek nevezzük, ha

8.76. Megjegyzés. A függetlenség megfelelői diszkrét illetve folytonos esetben:

8.77. Definíció. Legyen véletlen vektor. Az a feltételes eloszlásfüggvénye a -nek esetén, ha

8.78. Megjegyzés. Ha léteznek a feltételes valószínűségek.

8.79. Definíció. Ha létezik nemnegatív valós értékű függvény, melyre

akkor a -nek az -ra vonatkozó feltételes sűrűségfüggvénye.

8.80. Megjegyzés.

8.81. Definíció. A feltételes sűrűségfüggvény segítségével meghatározott feltételes várható értéket regressziós függvénynek nevezzük, azaz az

függvényt a -nek az -ra vonatkozó regressziós függvényének nevezzük.

8.82. Megjegyzés. Ha véletlen vektor és olyan függvény, hogy valószínűségi változó, akkor

8.83. Definíció. A

mennyiséget kovarianciának nevezzük. Az

mennyiséget pedig korrelációs együtthatónak nevezzük.

8.84. Tétel.

1.

2.

3.

4. azaz

8.85. Megjegyzés. A véletlen vektor és a hozzákapcsolódó fogalmak definícióját csak kétdimenziós esetben adtuk meg, de nagyon egyszerűen kiterjeszthetőek véges sok valószínűségi változó esetére. Például, a valószínűségi változókat függetlennek nevezzük, ha

8.86. Tétel. Az függvény akkor és csak akkor együttes eloszlásfüggvény, ha minden változójában balról folytonos, és

és az összegzést esetében vesszük, ahol az

értéke és lehet.

8.87. Tétel. Legyenek független valószínűségi változók, melyeknek rendre az eloszlásfüggvénye. Ekkor

(a) az valószínűségi változó eloszlásfüggvénye

(b) az valószínűségi változó eloszlásfüggvénye

8.5.6. 8.5.6. Néhány többdimenziós eloszlás

A véletlen vektor

(i) normális eloszlású, ha

ahol

(ii) egyenletes eloszlású az tartományon, ha

8.5.7. 8.5.7. Néhány alapvető tétel

8.88. Tétel. (Markov-egyenlőtlenség) Legyen a nemnegatív valószínűségi változó, melynek létezik a várható értéke, ekkor esetén

8.89. Tétel. (Csebisev-egyenlőtlenség) Ha a valószínűségi változónak létezik a szórásnégyzete, akkor esetén

8.90. Tétel. (nagy számok gyenge törvénye) Legyen független, azonos eloszlású valószínűségi változók sorozata. Létezik a szórásnégyzet. Ekkor tetszőleges esetén

8.91. Megjegyzés. Legyen esemény és az esemény gyakorisága az első kísérletből egy Bernoulli kísérletsorozatnál. Ekkor tetszőleges esetén

8.92. Tétel. (centrális határeloszlás-tétel) Legyen független, azonos eloszlású valószínűségi változók sorozata és létezik az és Ha akkor

ahol a standard normális eloszlásfüggvény.

8.93. Tétel. (Moivre-Laplace) Legyen a valószínűségi változó binomiális eloszlású és paraméterrel és egész, akkor