Görbék leírására alapvetően három lehetőség van:

Ezek közül az első kettő csak síkgörbék, a harmadik mind sík-, mind térgörbék leírására alkalmas.

A számítógéppel segített tervezés számára a paraméteres leírás a legfontosabb. Az implicit leírást sokkal ritkábban használjuk, az explicitet pedig alig, mert ez nagymértékben függ a koordináta-rendszertől. A paraméteres leírás azért is hasznos, mert sík- és térgörbe (sőt dimenziójú térbeli görbe) is leírható vele. A paraméteres és implicit leírások közötti áttérés általában nem lehetséges, bár nagyon jó lenne, ugyanis mindkét leírási módnak vannak előnyei és hátrányai. Annak eldöntésére például, hogy egy pont illeszkedik-e a görbére az implicit alak a legalkalmasabb, a kirajzoláshoz (a görbe bejárásához) viszont a paraméteres.

Az alkalmazások, a konkrét tervezési feladatok során általában nem ismerjük a görbéket meghatározó egzakt matematikai formulákat, melyek az egyes leírási módokhoz szükségesek. Sokkal gyakoribb, hogy olyan feltételeket ismerünk, melyeket az alakzatnak ki kell elégítenie, például adott pontokon át kell haladnia, vagy adott egyenest érintenie kell. Másrészt a tervezés során funkcionális igényeken kívül esztétikai követelmények is vannak a tervezendő objektummal szemben, és ezek a kívánalmak nagyon nehezen fejezhetők ki, illetve az ezeket kielégítő adatok nehezen írhatók le, matematikai formulákkal. Erre sokkal alkalmasabbak a tervezői kreativitás kibontakozását segítő, az alkotó térszemléletére tá-maszkodó geometriai adatok, melyekkel interaktív módon, állandó vizuális visszacsatolás mellett adható meg, illetve módosítható a tervezendő objektum alakja.

A fentiek miatt a számítógéppel segített geometriai tervezőrendszerek használata során a legritkább esetben van szükségünk, illetve van lehetőségünk görbék és felületek egyenletének megadására. A rendszerek számos görbemegadási, modellezési lehetőséget biztosítanak. Ezzel lehetővé teszik, hogy a felhasználók a tervezői gondolkodáshoz közelálló módon adhassák meg az objektumokat, majd a rendszer ebből automatikusan létrehozza az egységes belső tároláshoz szükséges adatrendszert. Ezt a belső tárolást azonban az átlagos felhasználónak nem kell ismernie.

Görbék tervezésekor (modellezésekor) a koordinátafüggvények közvetlen megadása helyett a görbét jellemző, azt egyértelműen meghatározó, szemléletes, a tervező számára könnyen kezelhető geometriai, vagy geometriai jelentéssel bíró adatokat adunk meg.

Az egyik általánosan elterjedt módszer, hogy olyan pontokat adunk meg, melyen a görbének át kell haladnia. A megadott pontokon áthaladó görbéket interpoláló, vagy interpolációs görbének nevezzük.

A másik széles körben elterjedt modellezési módszer az approximáció, amikor a görbe nem halad át az adott pontokon, legalábbis nem mindegyiken, de az adott pontok határozzák meg. Az ilyen görbe tehát csak közelíti az adott pontokat, ezért approximáló, vagy approximációs görbének nevezzük.

Az interpoláló és approximáló görbék előállítására két alapvetően különböző stratégia létezik. Az egyik lehetőség, hogy az összes pontot (és esetleges kiegészítő adatokat) figyelembe véve egyetlen görbét határozunk meg. A másik megközelítés az, amikor a görbét több, egymáshoz valahányad rendben folytonosan kapcsolódó görbeívből állítjuk elő. Az ilyen technikával előállított görbét szplájnnak (spline) nevezzük, manapság ezt alkalmazzák legtöbb esetben.

Lábjegyzet. A spline eredetileg a hajóépítők által használt „flexibilis vonalzót”, gyakorlatilag egy hajlékony, rugalmas lécet jelentett.

Görbék folytonos kapcsolódásáról többféle értelemben is beszélhetünk. Ezek definiálásához tekintsük az és görbéket.

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy az görbe az –hez tartozó pontban a paraméter szerint –edrendben folytonosan kapcsolódik a görbéhez annak paraméterértékéhez tartozó pontjában, ha

A paraméter szerinti –edrendű folytonos kapcsolódást –el jelöljük. A folytonos kapcsolódáshoz nem szükséges teljesülése, bár szplájn-görbék leírása esetén általában áll fenn. azt jelenti, hogy a két görbének közös az adott paraméterértékekhez tartozó pontja - -, jelentése pedig .

A folytonos kapcsolódásnak ez a formája a paraméterezéstől függ, vagyis egy megengedett paramétertranszformációt végrehajtva valamelyik görbén megszünhet a kapcsolódás, bár a görbék alakja természetesen nem változik, vizuálisan ugyanolyan sima átmenetet tapasztalunk a két görbe között. Ezért szükségessé vált a folytonos kapcsolódásnak olyan értelmezése, amely a görbéknek a paraméterezéstől független, belső geometriai tulajdonságaira épül (érintő, simulósík, görbület, torzió). Az –edrendű geometriai folytonos kapcsolódás szokásos jelölése vagy , illetve a vizuális folytonosság szóhasználat esetén (a definíció ugyanaz) vagy . Mi a továbbiakban a jelölést használjuk.

és jelentése megegyezik , illetve jelentésével. a közös pontban az érintők (az egyenesek és nem feltétlenül a deriváltak) egybeesését, az előzőek mellett a simulósík és a görbület megegyezését, pedig a pontbeli torzió megegyezését is jelenti.

Az interpoláló és approximáló görbék fontos tulajdonsága, hogy hogyan viselkednek, ha az adott pontok valamelyikének helyét megváltoztatjuk. Ha ilyen esetben a teljes görbe alakja változik, akkor azt mondjuk, hogy a görbe globálisan változtatható. Ha a görbének csak valamely jól meghatározható íve változik, akkor lokálisan változtathatónak mondjuk a görbét.

Az interpolálandó, illetve approximálandó pontok megadásával az előállítandó görbe alakját írjuk elő, a pontokat összekötő töröttvonal alakját követő görbét szeretnénk előállítani. Ha az eredményül kapott görbe alakja felerősíti a töröttvonal hullámzását, akkor azt mondjuk, hogy a görbe oszcillál, ha pedig inkább csökkenti azt, akkor azt mondjuk, hogy a görbe hullámzáscsökkentő (variation diminishing) tulajdonságú.

Az interpolálciós és approximációs feladatoknak nyilván végtelen sok megoldása van és ezek között nincs egyetlen, minden szempontból optimális. Ezért van létjogosultsága több módszernek, melyek közül a tervező választja ki az adott feladat szempontjából optimális modellezési módszert. Az ismertetendő módszerek sík- és térgörbék előállítására egyaránt alkalmasak.