A harmadrendű (kubikus, köbös) Hermite-ív esetén nemcsak az interpolálandó pontokat, hanem ezekben az érintővektorokat is ismertnek tételezzük fel.

Adott a és pont valamint a és érintővektor.

Keresünk olyan

harmadfokú polinommal meghatározott görbét, amelyre

teljesül.

Ezt az egyenletrendszert az ismeretlen együtthatókra megoldva az

együtthatókat kapjuk. Ezeket (2.1)-be behelyettesítve, átrendezés után, az

alakot kapjuk. Ebből felírhatjuk a görbe

mátrixalakját is. Ez az alak akkor hasznos, ha ugyanannak az ívnek több pontját is ki kell számolnunk, ugyanis a mátrix és a jobb oldali vektor -tól független, ezért ezek szorzata előre kiszámítható és csak ezt kell a különböző értékeknél vett bal oldali vektorral megszorozni. A

jelölést bevezetve (2.3) az

alakban írható fel. A , függvényeket harmadfokú Hermite-polinomoknak nevezzük. A 2.2. ábra ezek grafikonját mutatja a intervallum fölött. Az ábra alapján következtethetünk arra, hogy az paraméter függvényében hogyan nő, illetve csökken az adott pontok és érintők hatása az interpoláló görbére. A 2.3. ábra azt mutatja, hogy a kezdő- és végpontbeli érintő hossza hogyan befolyásolja a harmadrendű ív alakját. A 2.3. a) ábrán a kezdő- és végpontokban az érintők hosszát egyenlő mértékben növeltük, a 2.3. b) ábrán pedig csak a kezdőpontban növeltük. Az ábrán és egységnyi hosszúságú. Az itt nyert tapasztalatok jól használhatók görbe tervezésnél, mivel segítséget adnak ahhoz, hogy hogyan adjuk meg az érintővektorok hosszát a kívánt alakú interpoláló görbe létrehozásához. DEMO: Hermite_arc.exe

2.2. ábra - Harmadfokú Hermite-polinomok

Most megvizsgáljuk, hogy milyen hatással van az Hermite-ívre a paramétertartomány affin (lineáris) transzformációja. Tekintsük az Hermite-ív (2.3) alakját, és a intervallumról térjünk át a tetszőleges intervallumra! Ez az

paramétertranszformációt jelenti. A paramétertranszformációt követően az ív kezdő- és végpontjára

teljesül, ezekben a pontokban az érintővektorok

következtében

lesznek.

2.3. ábra - Az ábrán és egységnyi hosszúságú érintővektor. Az a) ábrán a végpontbeli érintővektorok hosszát azonos mértékben növeltük, amivel eltérő tulajdonságú görbéket kaptunk: szingularitás nélküli (fekete), két inflexiós pont (piros), csúcspont (kék), önmetszéspont (narancs). A b) ábrán csak a hosszát növeltük, megfigyelhető, hogy növelésével a görbe hogyan simul az érintő egyeneshez.

Látható, hogy az Hermite-ív alakja nem invariáns a paramétertartomány affin transzformációjával szemben, hiszen a transzformáció következtében a kezdő- és végpontbeli érintők hossza megváltozik. Tehát a paramétertranszformációval is elérhetjük a 2.3. ábrán látható alakváltozásokat. Ha azt akarjuk, hogy az , harmadrendű Hermite-ívre , , és teljesüljön, akkor az

görbénél a Hermite-polinomokat , , és módon kell megválasztani, de az

összefüggéssel is ugyanazt kapjuk.

A harmadfokú interpoláció igen népszerű, széles körben használt eljárás, mivel ez a legalacsonyabb fokszám, amellyel térgörbe, valamint a 2.3. ábrán látható szinguláris pontokkal (csúcspont, önmetszéspont, inflexiós pont) rendelkező görbeívek állíthatók elő.

Előfordulhat azonban olyan probléma is, ahol a harmadfokú interpoláció nem elégséges. Így például, ha az érintővektor mellett a második derivált is adott a kezdő- és végpontban, akkor ötödfokú polinomot kell alkalmaznunk. Ennek az interpoláló ívnek a meghatározása az előzőekben ismertetett harmadfokúval analóg. Tágabb értelemben Hermite-ívnek nevezzük az olyan görbeívet, amely kezdő- és végpontjával, valamint ezekben valahányadrendű deriváltjaival adott.