3. fejezet - Bézier-görbe

3. fejezet - Bézier-görbe
Előző		Következő

Az ebben a fejezetben tárgyalandó görbeleírási módszert szinte egyidőben, egymástól függetlenül dolgozta ki a a Citroën művek munkatársa P. de Casteljau és a Renault művek tervezője P. Bézier.

3.1. 3.1. de Casteljau-algoritmus

Tekintsük a pontokat, valamint a skalárt! A szakaszt osszuk fel arányban, és a kapott pontot jelöljük -el (lásd a 3.1. ábrát)! A szakasz ugyanilyen arányú felosztásával kapott pontját -el, majd a szakasz osztópontját -vel jelöljük. változtatásával egy görbét ír le, melynek paraméteres alakját a

osztópontok segítségével

alakban írhatjuk fel. A pont esetén a és pontokon áthaladó és ott , illetve érintőirányú parabolának a pontja. esetén is elvégezhetők a fenti műveletek, és ekkor a parabolának a és pontok közötti ívén kívül eső pontjait kapjuk. A 3.1. ábra a és pontok szerkesztését mutatja.

3.1. ábra - A $A \mathbf{b}_{0},\mathbf{b}_{1},\mathbf{b}_{2} pontokkal meghatározott parabola t_{1}=1/3 és t_{2}=3/2 pontjainak szerkesztése$ pontokkal meghatározott parabola $A \mathbf{b}_{0},\mathbf{b}_{1},\mathbf{b}_{2} pontokkal meghatározott parabola t_{1}=1/3 és t_{2}=3/2 pontjainak szerkesztése$ és $A \mathbf{b}_{0},\mathbf{b}_{1},\mathbf{b}_{2} pontokkal meghatározott parabola t_{1}=1/3 és t_{2}=3/2 pontjainak szerkesztése$ pontjainak szerkesztése

$A \mathbf{b}_{0},\mathbf{b}_{1},\mathbf{b}_{2} pontokkal meghatározott parabola t_{1}=1/3 és t_{2}=3/2 pontjainak szerkesztése$

Ennek a parabolaszerkesztésnek az általánosításaként fogható fel a de Casteljau-algoritmus, ami a Bézier-görbe előállítására alkalmas.

Adottak a tér pontjai és a skalár. A pontokat összekötő töröttvonal oldalait osszuk fel arányban, és az osztópontokat jelöljük -vel. Így a kiindulásinál eggyel kevesebb számú pontot kapunk. Az osztópontok által meghatározott töröttvonal oldalait is osszuk fel arányban, és ezt az eljárást addig folytassuk, míg egyetlen osztópontot kapunk. Ezen rekurzív felosztás formális leírása:

ahol

Ezek a lineáris kombinációk esetén végrehajthatók és egy pontot kapunk eredményül. Azonban ha , akkor az algoritmus csak konvex kombinációkat tartalmaz, ami nagyfokú numerikus stabilitást eredményez.

A pontok által meghatározott görbét Bézier-görbének nevezzük. A ... pontokat Bézier-pontoknak vagy kontrollpontoknak nevezzük, az általuk meghatározott poligont pedig Bézier-poligonnak vagy kontrollpoligonnak, magát a felosztási algoritmust pedig de Casteljau-algoritmusnak. A felosztás során kapott pontok a következő háromszögalakba rendezhetők:

Az esethez tartozó szerkesztést mutatja a 3.2. ábra.

3.2. ábra - A $A \mathbf{b}_{0}^{4}\left(1/3\right) pont szerkesztése a de Casteljau-algoritmussal$ pont szerkesztése a de Casteljau-algoritmussal

$A \mathbf{b}_{0}^{4}\left(1/3\right) pont szerkesztése a de Casteljau-algoritmussal$

Előző		Következő
2.6. 2.6. Az interpoláló görbék paraméterezése	Tartalom	3.2. 3.2. Bézier-görbe leírása Bernstein-polinommal