A Bézier-görbe további vizsgálatához az előzőekben tárgyalt rekurzív definíció mellett szükséges a görbe paraméteres alakja is. Ezt az alakot a Bernstein-polinomok segítségével állítjuk elő.

3.1. Definíció. A

összefüggéssel definiált polinomot az -edik -edfokú Bernstein-polonomnak nevezzük, és definíció szerint

A Bernstein-polinomok alábbi tulajdonságai könnyen igazolhatók a definíció alapján.

A 3.3. ábra a másod- és harmadfokú Bernstein-polinomokat ábrázolja.

3.3. ábra - A másod- és harmadfokú Bernstein-polinomok

3.2. Tétel. A Bernstein-polinomok lineárisan függetlenek.

Bizonyítás. Belátjuk, hogy lineáris kombinációjuk pontosan akkor nulla, ha minden együttható nulla. Tekintsük az -edfokú Bernstein polinomok

lineáris kombinációját! Az összeg minden tagját -el elosztva

ami az helyettesítéssel az

összeget eredményezi. Ezzel a Bernstein polinomok lineáris függetlenségét visszavezettük az hatványpolinomok lineáris függetlenségére.

Ennek a tételnek fontos következménye, hogy a Bernstein-polinomok a legfeljebb -edfokú polinomok terének bázisát alkotják.

Most megmutatjuk, hogy a de Casteljau-algoritmussal előállított Bézier-görbe a Bernstein-polinomokkal

alakban írható fel.

3.3. Tétel. A de Casteljau-algoritmus pontjai

alakban írhatók fel az -edfokú Bernstein-polinomok segítségével.

Bizonyítás. A tételt szerinti teljes indukcióval bizonyítjuk.

i) Először megmutatjuk, hogy az állítás -ra igaz. Ez valóban triviálisan teljesül, hiszen a (3.4) kifejezésbe helyettesítve

ii) A következőkben belátjuk, hogy ha -re igaz, akkor abból következik -re is. Mindenekelőtt a (3.4) kifejezésen végrehajtunk egy formális átalakítást, a indextranszformációt, azaz

A de Casteljau-algoritmus szerint

Ez az -re vonatkozó feltételezés miatt

alakban írható fel. A (3.1) tulajdonságot felhasználva, az első tag összegzésének felső határát megnövelhetjük eggyel, a második tagban pedig a nulla tagot hozzávéve az

összefüggést kapjuk. Figyelembe véve a (3.2) egyenlőséget, és a indextranszformációt alkalmazva

A fenti tétel igen fontos esete az , , amelyre

vagyis a de Casteljau-féle rekurzív algoritmussal kapott pont rekurzió nélkül, a kontrollpontoknak a Bernstein-polinomokkal vett kombinációjaként is előállítható. Tehát a ... kontrollpontokkal adott Bézier-görbe a

paraméteres alakban írható fel.