3.12. Tétel. A de Casteljau-algoritmus közbülső () pontjai segítségével a Bézier-görbe -edik deriváltja

alakba írható.

Bizonyítás. Felhasználjuk, hogy az összegzés és a differencia képzése felcserélhető, azaz

ami a fenti tulajdonság miatt

ez pedig a 3.3. tétel miatt

Ez tehát azt jelenti, hogy a de Casteljau-algoritmussal nemcsak a Bézier-görbe pontját, hanem a deriváltját is meghatározhatjuk. Ugyanis, ha a ... kontrollpontokkal adott Bézier-görbe valamely paraméterhez tartozó pontját a de Casteljau-rekurzióval határozzuk meg, akkor a közbülső pontok az alábbi alakba rendezhetők

A fenti tétel értelmében a úgy kapható meg, hogy ezen háromszög -edik oszlopának, amely a elemeket tartalmazza, vesszük a differenciáját és megszorozzuk -al. Ez

esetén

esetén pedig

Tehát a de Casteljau-algoritmussal kapott pontok utolsó oszlopa a görbe pontja, az utolsó előtti oszlop az érintőegyenest, az ezt megelőző oszlop pedig a simulósíkot határozza meg. Ezt szemlélteti a 3.7. ábra.

3.7. ábra - A de Casteljau-algoritmussal előállított pontokkal megkapjuk a görbe érintőjét és simulósíkját is