Adott a 
intervallum fölött az 
-edfokú 
Bézier-görbe, és a 
paraméterérték. Keressük azt a 
intervallumon értelmezett ugyancsak 
-edfokú 
Bézier-görbét, amely a 
görbének 
ívét határozza meg.
Az 
paramétert a 
segítségével 
formában adjuk meg. A 
görbe kontrollpontjait 
... 
; a 
görbéjét 
... 
-el jelölve, a feladat az ismert 
-kből a 
-k (
) meghatározását jelenti.
Tekintsük a két görbét a 
pontban! Miután mindkét ív ugyanannak az 
-edfokú görbének a része és azonos paraméterezésűek, ezért deriváltjaiknak is meg kell egyezni, azaz
a 
helyen is. Ezek a deriváltak csak a 
... 
, illetve a 
... 
pontoktól függnek (lásd (3.6)).
A 
... 
és a 
... 
tekinthetők egy-egy 
-edfokú Bézier-görbe kontrollpontjaiként. Az így kapott két görbe egybeesik, azaz
bármely megfelelő 
-ra. Ezt a következőképpen bizonyíthatjuk. A (3.8) egyenlőség alapján
ami a 
helyen
azaz
Másrészt a 
és 
görbék 
-dik deriváltjaira
azaz a
egyenlőségek teljesülnek (3.9) miatt. Vagyis a 
és 
, 
görbék deriváltjai a 
helyen 
-edrendig egyenlőek, tehát a két görbe egybeesik. Akkor ez az egyenlőség a 
, 
helyen is teljesül, azaz
Figyelembe véve a 
egyenlőséget, és a de Casteljau-algoritmusnál bevezetett jelölést használva a
egyenlőséget kapjuk. Ami azt jelenti, hogy a de Casteljau-algoritmussal nemcsak a Bézier-görbe pontja, valamint az ottani derivált határozható meg, hanem a görbe két, az eredetivel megegyező fokszámú Bézier-görbére bontható. Ehhez vizsgáljuk meg a de Casteljau-algoritmussal előállított pontok háromszögét!
Az egyik a 
intervallum fölötti, amelynek kontrollpontjai 
, 
. A másik pedig, szimmetria okok miatt, a 
intervallum fölötti görbe, amelynek kontrollpontjai 
, 
. A 3.8. ábrán látható negyedfokú Bézier-görbét a 0.5 paraméterértéknél vágtuk ketté.
A de Casteljau-algoritmussal alőállított pontok az eredeti görbe konvex burkán belül vannak, vagyis a kettévágással olyan két görbét kapunk, melyek konvex burka az eredeti görbe konvex burkának valódi részhalmaza. A kettévágás ismételt alkalmazásával kapott kontrollpoligonok sorozata a Bézier-görbéhez konvergál. Ez a konvergencia igen gyors, és a kontrollpoligonok számítása stabil.
A Bézier-görbék felosztásával belátható a hullámzáscsökkentő tulajdonság is. Ez azt jelenti, hogy a görbe nem erősíti fel, sőt csökkenti a kontrollpoligon hullámzását, vagyis nem oszcillál, mint például a Lagrange-görbe. Ezt a tulajdonságot illusztrálja a 3.9. ábra.
3.13. Tétel. A Bézier-görbét egy sík (vagy egyenes) legfeljebb annyi pontban metszi, mint a kontrollpoligonját.
Bizonyítás. A de Casteljau-algoritmus tulajdonképpen a kontrollpoligon „sarkainak” ismételt levágását jelenti. Egy-egy ilyen levágásra teljesül, hogy az új kontrollpoligonnak nem lehet több metszéspontja a síkkal (egyenessel), mint az eredetinek. Felhasznáva, hogy a kontrollpoligonok a görbéhez konvergálnak, állításunk igazolását nyerjük.
Ezt szemlélteti a 3.10. ábra.
