4. fejezet - B-szplájn-görbe

4. fejezet - B-szplájn-görbe
Előző		Következő

A B-szplájn-görbék alapjául szolgáló úgynevezett B-szplájn alapfüggvények kutatása egészen a XIX. századra nyúlik vissza, amikor N. I. Lobacsevszkij valószínűségi eloszlások konvolúciójaként állította elő őket. Maga a B-szplájn elnevezés (Basis Splines) I. J. Schoenbergtől származik, aki 1946-ban egyenközű csomóértékeken értelmezett B-szplájn alapfüggvényeket használt statisztikai adatok simítására. Geometriai modellezésre C. de Boor használta először a B-szplájn alapfüggvényeket.

4.1. 4.1. Normalizált B-szplájn alapfüggvény

4.1. Definíció. Az skalárokon az

rekurzióval adott függvényt normalizált B-szplájn alapfüggvénynek nevezzük, az skalárokat csomóértékeknek (knot values), a belőlük, mint komponensekből képzett vektort pedig csomóvektornak (knot vector). Az előforduló -t definíció szerint -nak tekintjük.

4.1. ábra - Első-, másod- és harmadfokú normalizált B-szplájn alapfüggvények

Az lépcsős függvény (lásd a 4.1./a ábrát). Az definíció szerint

ami kifejtve

Ez tehát intervallumonként adott lineáris függvény (lásd a 4.1./b ábrát). Az függvény a rekurzió szerint

ami a rekurzió feloldása után az

eredményre vezet. tehát, intervallumonként meghatározott legfeljebb másodfokú polinom (lásd a 4.1./c ábrát), a függvénygörbe három parabolaívből áll. Ezt szemlélteti a 4.2. ábra.

4.2. ábra - Az $Az N_{i}^{3}\left(u\right) függvényt alkotó C^{1} kapcsolódó parabolaívek$ függvényt alkotó $Az N_{i}^{3}\left(u\right) függvényt alkotó C^{1} kapcsolódó parabolaívek$ kapcsolódó parabolaívek

$Az N_{i}^{3}\left(u\right) függvényt alkotó C^{1} kapcsolódó parabolaívek$

Általánosan azt állapíthatjuk meg, hogy az normalizált B-szplájn alapfüggvény legfeljebb edfokú polinom. A akkor fordulhat elő, ha szomszédos csomóértékek egybeesnek.

Az csomóértékeket a monotonitás biztosítása mellett tetszőlegesen adhatjuk meg. Ha a szomszédos csomóértékek távolsága állandó, vagyis konstans, akkor egyenközű, vagy uniform B-szplájn alapfüggvényről beszélünk. Ezt legkönnyebben az választással érhetjük el. A megegyező fokszámú, egyenközű normalizált B-szplájn alapfüggvények görbéje egybevágó (lásd a 4.3. ábrát), eltolással származtathatók egymásból,

Természetesen a B-szplájn alapfüggvény és a segítségével definiált B-szplájn-görbével kapcsolatos egyébb formulák is egyszerűsödnek, ennek ellenére az egyenközű paraméterezés kevéssé használatos, mivel szűkíti a modellezhető alakok körét, csökkenti a görbe módosítási lehetőségeit.

4.3. ábra - Harmadfokú egyenközű normalizált B-szplájn alapfüggvények

4.2. Tétel. , ha .

Bizonyítás. A bizonyítást szerinti teljes indukcióval végezzük el.

i) -re definíció szerint teljesül.

ii) -ről -ra a rekurzív definíció szerint

Az indukciós feltevés alapján

Ebből következik, hogy és , ha – ha nem a fenti intervallumok uniójában van – , és akkor bármilyen lineáris kombinációjuk is .

esetén csak az intervallumon lehet nullától különböző. Az intervallum fölötti -adrendű normalizált B-szplájn alapfüggvények közül csak az lehet nullától különböző. Ezen függvények kiszámításához szükséges alacsonyabb rendű B-szplájn alapfüggvények az

háromszögalakba rendezhetők, mivel a többi alapfüggvény nulla az intervallumon. Bármely függvény kiszámításához csak a tőle jobbra lévő oszlopban a vele azonos és az eggyel alatta lévő sorban szereplő függvények szükségesek.

A rend szerinti teljes indukcióval könnyen belátható a normalizált B-szplájn alapfüggvény következő két tulajdonsága is.

4.3. Tétel. A normalizált B-szplájn alapfüggvények nemnegatívak, azaz

4.4. Tétel. A -adrendű normalizált B-szplájn alapfüggvények összege az értelmezési tartomány bármely pontjában , azaz

4.1.1. 4.1.1. Többszörös csomóértékek

A 4.1. definícióban akkor fordulhat elő, ha szomszédos csomóértékek egybeesnek. Ilyen esetben az egybeeső csomóértékekkel meghatározott intevallumok nulla hosszúságúak lesznek, vagyis a függvény kevesebb ívből fog állni. Ha például , akkor

ez látható a 4.4. ábrán.

4.4. ábra - Különböző és egybeeső csomóértékeken adott másodfokú normalizált B-szplájn alapfüggvények

4.5. Definíció. Azt mondjuk, hogy az csomóérték multiplicitása , ha -től kezdődően darab egymást követő csomóérték megegyezik, azaz .

A csomóértékek multiplicitását kétféleképpen is érthetjük. Egyrészt a csomóvektorra vonatkozóan, másrészt egy adott normalizált B-szplájn alapfüggvényre vonatkozóan. Az csomóvektorban például multiplicitása , azonban multiplicitása az függvényekre nézve (nincs rájuk hatással), az -ra nézve , -ra , -re nézve pedig .

A következőkben azt mutatjuk meg, hogy a normalizált B-szplájn alapfüggvények speciális eseteként a Bernstein-polinomokat kapjuk.

4.6. Tétel. Az csomóértékeken az

egyenlőség teljesül.

Bizonyítás. A bizonyítást szerinti teljes indukcióval végezzük el.

i) esetén a csomóértékek , lesznek. A vizsgált alapfüggvények az intervallumon

melyek alapján

ii) -ről -ra

Ha , akkor , ezért a rekurzív definíciót és az indukciós feltevést figyelembe véve

Ha , akkor , ezért

esetén pedig a 4.1. definícióbeli rekurzió szerint

ami az indukciós feltevés alapján és a Bernstein-polinomok rekurzív tulajdonsága miatt

Az egybeeső csomóértékeknek természetesen nem kell feltétlenül -nak és -nek lenni. Általánosabban azt mondhatjuk, hogy az

csomóértékek esetén

teljesül. Tehát, ha két egymást követő, különböző csomóérték multiplicitása , akkor az ezen az intervallumon nullától különböző B-szplájn alapfüggvények megegyeznek a megfelelő Bernstein-polinomokkal.

4.5. ábra - $u_{1}=u_{2}<u_{3}=u_{4} miatt az N_{0}^{3}\left(u\right)=B_{0}^{2}\left(u\right) , N_{1}^{3}\left(u\right)=B_{1}^{2}\left(u\right) , N_{2}^{3}\left(u\right)=B_{2}^{2}\left(u\right) egyenlőségek teljesülnek az \left[u_{2},u_{3}\right] intervallumon$ miatt az $u_{1}=u_{2}<u_{3}=u_{4} miatt az N_{0}^{3}\left(u\right)=B_{0}^{2}\left(u\right) , N_{1}^{3}\left(u\right)=B_{1}^{2}\left(u\right) , N_{2}^{3}\left(u\right)=B_{2}^{2}\left(u\right) egyenlőségek teljesülnek az \left[u_{2},u_{3}\right] intervallumon$ , $u_{1}=u_{2}<u_{3}=u_{4} miatt az N_{0}^{3}\left(u\right)=B_{0}^{2}\left(u\right) , N_{1}^{3}\left(u\right)=B_{1}^{2}\left(u\right) , N_{2}^{3}\left(u\right)=B_{2}^{2}\left(u\right) egyenlőségek teljesülnek az \left[u_{2},u_{3}\right] intervallumon$ , $u_{1}=u_{2}<u_{3}=u_{4} miatt az N_{0}^{3}\left(u\right)=B_{0}^{2}\left(u\right) , N_{1}^{3}\left(u\right)=B_{1}^{2}\left(u\right) , N_{2}^{3}\left(u\right)=B_{2}^{2}\left(u\right) egyenlőségek teljesülnek az \left[u_{2},u_{3}\right] intervallumon$ egyenlőségek teljesülnek az $u_{1}=u_{2}<u_{3}=u_{4} miatt az N_{0}^{3}\left(u\right)=B_{0}^{2}\left(u\right) , N_{1}^{3}\left(u\right)=B_{1}^{2}\left(u\right) , N_{2}^{3}\left(u\right)=B_{2}^{2}\left(u\right) egyenlőségek teljesülnek az \left[u_{2},u_{3}\right] intervallumon$ intervallumon

$u_{1}=u_{2}<u_{3}=u_{4} miatt az N_{0}^{3}\left(u\right)=B_{0}^{2}\left(u\right) , N_{1}^{3}\left(u\right)=B_{1}^{2}\left(u\right) , N_{2}^{3}\left(u\right)=B_{2}^{2}\left(u\right) egyenlőségek teljesülnek az \left[u_{2},u_{3}\right] intervallumon$

A 4.6. tételt szemlélteti a 4.5. ábra a esetre.

4.7. Tétel. Ha az csomóérték multiplicitása , akkor

Bizonyítás. A bizonyításhoz vegyük az

rekurzív felbontást! Ennek első tagja nulla, a második tag első tényezője . felbontása

amiről ugyanaz mondható, mint felbontásáról. Tovább folytatva az eljárást -hez jutunk, vagyis a (4.1) egyenlőség teljesül.

4.1.2. 4.1.2. A B-szplájn alapfüggvény deriváltja

A B-szplájn alapfüggvénnyel definiálandó B-szplájn-görbének meg kell határozni az érintőjét, az ívek folytonos kapcsolódásának rendjét, ezért szükség van az alapfüggvények deriváltjára is.

4.8. Tétel. Az normalizált B-szplájn alapfüggvény deriváltja

alakban írható fel.

Bizonyítás. A bizonyítást szerinti teljes indukcióval végezzük el.

i) esetén

mivel , .

ii) -ről -ra:

a -re vonatkozó feltevést alkalmazva és átrendezve

Figyelembe véve az

azonosságot

A (4.2) egyenlőség felhasználásával az -edik deriváltra a

rekurzív formulát kapjuk. A (4.2) összefüggést másként is általánosíthatjuk az -edik derivált meghatározására. (A -nél magasabb rendű deriváltak eltűnnek, mivel -edfokú polinomról van szó.)

4.1.3. 4.1.3. Lineáris függetlenség

A B-szplájn elnevezésben a B a bázis (basis) szó rövidítése. Most megmutatjuk, hogy az elnevezés megalapozott, azaz megmutatjuk, hogy a csomóértékek tetszőleges intervalluma fölötti nullától különböző -edfokú normalizált B-szplájn alapfüggvények, a legfeljebb -edfokú polinomok bázisát alkotják az intervallumon. Ennek érdekében belátjuk, hogy ezek a függvények lineárisan függetlenek.

4.9. Tétel. Az normalizált B-szplájn alapfüggvények lineárisan függetlenek az intervallumon.

Bizonyítás. A bizonyítást szerinti teljes indukcióval végezzük el.

i) -re nyilvánvalóan teljesül.

ii) Feltételezve, hogy -re teljesül, megmutatjuk, hogy -ra is.

Megmutatjuk, hogy a

egyenlőség csak esetén teljesülhet. (4.3) deriválásával

Az első összeg alsó határa -re növelhető, a második összeg felső határa pedig -re csökkenthető, mivel . Ezek alapján

aminek az első összegén a indextranszformációt végrehajtva

Erre az indukciós feltevés igaz, ezért , , amiből konstans következik. Ez a konstans azonban csak lehet, mivel egyébként , ami ellentmond a 4.4. tételnek.

Az intervallum fölötti darab -edfokú polinom tehát lineárisan független rendszert alkot, ezért ezen intervallum fölött a legfeljebb -edfokú polinomok dimenziós terének egy bázisát képezik.

Előző		Következő
3.10. 3.10. Interpoláció Bézier-görbével	Tartalom	4.2. 4.2. A B-szplájn-görbe és tulajdonságai