4.13. Tétel. A B-szplájn-görbe deriváltja az helyen

Bizonyítás. A normalizált B-szplájn alapfüggvény (4.2) deriváltját felhasználva

A második összegzésen a indextranszformációt végrehajtva

Az első összegzés alsó határát -re növelhetjük, mivel , ha ; valamint a második összegzés felső határát -re csökkenthetjük, mivel , ha . Így a végeredmény

Ez azt jelenti, hogy a -edfokú B-szplájn-görbe hodográfja (lásd a 3.10. definíciót) -edfokú B-szplájn-görbe.

A fent bizonyított összefüggést egymás után alkalmazva, az -edik deriváltra esetén a következő eredményt kapjuk:

ahol

A B-szplájn-görbék deriváltját a de Boor-algoritmussal kapott pontokkal is kifejezhetjük.

4.14. Tétel. A B-szplájn-görbe deriváltja az helyen

ahol a de Boor-algoritmus -edik lépésében kapott pontokat jelöli.

Bizonyítás. szerinti teljes indukciót használva a tétel állításánál általánosabb

összefüggést igazoljuk.

i) esetén (4.6) alapján

ezek deriváltja

ii) -ről -re

A de Boor-algoritmus -edik lépésénél

aminek a deriváltja

Az indukciós feltevést alkalmazva

Felhasználva, hogy

valamint

a deriváltra

Ami esetén a tétel igazolása.