A B-szplájn-görbe egymáshoz kapcsolódó ívekből áll, a kapcsolódások a csomóértékekhez tartozó pontokban vannak. Most az ívek paraméter szerinti folytonosságának rendjét fogjuk vizsgálni a kapcsolódási pontokban. Először egyszeres csomóértéknél nézzük meg a folytonosságot.

4.15. Tétel. Az B-szplájn-görbe

ívei a paraméter szerint -edrendben folytonosan () kapcsolódnak egymáshoz az csomóértéknél, ha és multiplicitása .

Bizonyítás. A (4.7) összefüggés szerint

esetén

mivel ha ;

mivel ha .

esetén

felhasználva, hogy .

mivel .

Összefoglalva:

de

vagyis az paraméternél -edrendű folytonosság () áll fenn.

Az egyes ívek természetesen belső pontjaikban tetszőlegesen sokszor differenciálhatók. Most megmutatjuk, hogy a csomóérték multiplicitásának növelése csökkenti a folytonosság rendjét. Ha az csomóérték multiplicitása ( felső korlátjának meghatározására később visszatérünk), azaz , akkor a B-szplájn-görbe ívei egyetlen ponttá zsugorodnak, ezért ebben az esetben az és ívek kapcsolódásának folytonosságát kell vizsgálni. Ezt a 4.15. tétel általánosításában foglaljuk össze.

4.16. Tétel. Az

görbeívek az multiplicitású csomóértéknél a paraméter szerint -edrendben folytonosan () kapcsolódnak.

Bizonyítás. Megmutatjuk, hogy

de

i) esetén (4.7) alapján

mivel , multiplicitása miatt.

Másrészt

mivel , az adott feltételek mellett. Ezzel tehát beláttuk a (4.8) egyenlőségek teljesülését.

ii)

mivel , a csomóértékek egybeesése miatt.

mivel (lásd a 4.7. tételt)) és , .

Ezzel a (4.9) egyenlőtlenség is bizonyított.

Tehát az -szeres csomóértéknél a -adrendű görbe folytonos. Ezért esetén a görbe , vagyis még folytonos, de már nem differenciálható, törés van a görbében. esetén már a folytonosság is megszűnne, vagyis a kapott alakzat már a szemlélet alapján sem lenne görbének tekinthető. Ezért a multiplicitásra az egyenlőtlenséget írjuk elő.

A multiplicitású csomóértéknél a -edfokú B-szplájn-görbe a kontrollponton megy át, ugyanis

mivel

amiben az első tag nulla, a második pedig a 4.7. tétel miatt, és a (4.10) összegben szereplő többi B-szplájn alapfüggvény eltűnik -nél.