Modellezés során gyakran előfordul, hogy B-szplájn-görbével kell adott pontokat interpolálni, azaz adott pontokhoz olyan adott rendű B-szplájn-görbét meghatározni, mely átmegy a pontokon. A feladat pontos megfogalmazása a következő:

4.14. ábra - Interpoláló harmadfokú B-szplájn-görbék. Az interpolálandó pontok paraméterének meghatározása: a) egyenközű, b) húrhosszal arányos, c) centripetális

Adottak a pontok és a hozzájuk tartozó paraméterértékek.

Keressük azokat a kontrollpontokat és az , csomóértékeket, melyekkel meghatározott -adrendű B-szplájn-görbére

teljesül. Az esetek többségében csak a pontokat ismerjük, a paraméterértékek meghatározásához a 2.6. szakaszban ismertetett módszerek közül választhatunk.

A feladat megoldása az

lineáris egyenletrendszer megoldását jelenti (koordinátánként). Az egyértelmű megoldhatóság tehát, a (4.14) lineáris egyenletrendszerek egyértelmű megoldhatóságán, vagyis az együtthatómátrix (a továbbiakban ) invertálhatóságán múlik. Erre a Schoenberg–Whitney-tétel ad kritériumot, amit bizonyítás nélkül ismertetünk.

4.21. Tétel. Az együtthatómátrix akkor és csak akkor invertálható, ha a főátlója pozitív, azaz

Ha az függvények folytonosak (az csomóértékek multiplicitása ), akkor az feltétel az

feltétellel ekvivalens, ahol egyenlőség csak akkor megengedett, ha az értelmezési tartomány , vagy végpontjairól van szó.

A interpolációs paraméterekhez az

csomóértékeket választva az egyértelmű megoldhatóság is biztosított, és a tapasztalatok szerint ez a megoldás az alkalmazások számára is kielégítő. Természetesen a -k ismeretében, a (4.15) feltétel teljesítése mellett másként is megválaszthatjuk a csomóértékeket. A 4.14. ábra különböző interpolációs paraméterekhez tartozó harmadfokú interpoláló B-szplájn-görbéket mutat. Látható, hogy a paraméterértékek hatása igen jelentős.