A görbékhez hasonlóan a felületek leírására is alapvetően három lehetőség van. Ezek

Az explicit leírás egy kétváltozós függvény értékkészlete által meghatározott felület. Ebben a formában domborzat jellegű felületeket lehet leírni. Ez a leírási mód nagymértékben koordinátarendszer-függő - bármely párhoz egyetlen érték tartozhat, ami a koordináta-rendszer transzformálása után nem biztos, hogy teljesül, bár a felület alakja természetesen változatlan marad, ezért általános célú tervezőrendszer geometriai magjául nem szolgálhat.

Az implicit leírási mód kevésbé függ a koordináta-rendszertől. Az egyenletet kielégítő pontok halmaza a teret két féltérre osztja, például az

origó középpontú, sugarú gömbfelület által meghatározott két féltér az tulajdonságú pontokból álló gömb belseje, valamint az egyenlőtlenséget kielégítő gömbön kívüli pontok halmaza. Az implicit alak fenti tulajdonsága jól használható testmodellezéshez, a térfogati modellezés (Constructive Solid Geometry - CSG, más terminológiával Set Theoretic Modelling) erre épül. (A poliéderek például síkok által határolt félterek metszeteként állíthatók elő.) Ennél a leírásnál könnyű eldönteni, hogy egy adott pont illeszkedik-e a felületre, könnyen előállítható a felületi normális, azonban például a felület megjelenítése általában nem egyszerű feladat.

7.1. ábra - Felület paraméteres leírása

A számítógéppel segített geometriai tervezésben a paraméteres leírást használjuk leggyakrabban. Ez a leírás független a koordináta-rendszertől, miután az értelmezési tartomány és az értékkészlet tere elkülönült (lásd a 7.1. ábrát).

Felületek modellezése során nem a leírásukhoz szükséges egzakt matematikai formulákat adjuk meg a CAD rendszerekben, hanem szemléletes, a tervezői gondolkodásmódhoz, térszemlélethez közel álló geometriai adatokkal - többnyire pontokkal, görbékkel, érintőkkel, érintősíkokkal - adjuk meg a felületeket. Természetesen ezek mellett általában szükség van más kiegészítő adatokra is.

A felületmodellezési módszerek általános tulajdonságai részben megegyeznek a görbék modellezésének jellemzőivel, részben értelemszerű módosításokkal nyerhetjük azokból. Így megkülönböztethetünk interpoláló és approximáló módszereket. Ha a felület áthalad az adott pontokon vagy görbéken, akkor interpoláló felületnek nevezzük; ha pedig nem halad át az adott elemek mindegyikén, akkor approximáló felületeknek. Egy összetett alakot modellezhetünk egyetlen felülettel, vagy pedig több, egymáshoz folytonosan kapcsolódó felületfolttal. Interpoláló és approximáló felületek esetén is beszélhetünk globális és lokális változtathatóságról. Akkor mondjuk, hogy egy felület globálisan változtatható, ha a meghatározó pontok vagy görbék valamelyikének elmozdítása, megváltoztatása a teljes felület alakjának változását vonja maga után. Ha az előző beavatkozás következtében a felület csak a megváltoztatott meghatározó elem környezetében változik, akkor lokálisan változtathatónak mondjuk a felületet. A görbék tárgyalásához hasonlóan, a felületeknél is csak olyan modellezési módszereket ismertetünk, melyek eredményeként a felület paraméteres leírását kapjuk.

7.1. 7.1. Vonalfelületek, két görbét interpoláló felület

Az olyan felületet, melynek bármely pontján át van a felületre illeszkedő egyenese, vonalfelületnek nevezzük, magukat az egyeneseket pedig alkotóknak. A vonalfelületet legegyszerűbben

alakban írhatjuk fel, ahol tetszőleges térgörbe, pedig az alkotó irányába mutató vektor.

A számítógéppel segített tervezés során gyakrabban használjuk a vonalfelületeknek azt az előállítását, amikor ugyanazon a paramétertartományon értelmezett két görbe azonos paraméterértékhez tartozó pontjait kötjük össze egyenes szakasszal, és a felületnek csak a két görbe által határolt részét vesszük figyelembe. Ekkor a felület

alakban írható fel. Ez a felület a két görbe lineáris interpolációjának is tekinthető.

Fontos szerepe van a görbe paraméterezésének. Vegyük ugyanis azt a példát, amikor az interpolálandó görbék a és síkokon elhelyezkedő sugarú körök, melyek középpontja a tengelyen van, és legyen , , !

• Ha , akkor a felület forgáshenger (lásd a 7.2. ábrát);

  7.2. ábra - Forgáshenger

  henger.pdf

  
  

• ha , akkor a felület forgáskúp (lásd a 7.3. ábrát).

  7.3. ábra - Forgáskúp

  kup.pdf

  
  

• minden más értéke esetén egyköpenyű forgáshiperboloidot kapunk (lásd a 7.4. ábrát);

  7.4. ábra - Egyköpenyű forgáshiperboloid

  hiperboloid.pdf

  
  

A vonalfelületek egy fontos osztálya a kifejthető, más néven síkbateríthető felületeké. Akkor mondjuk, hogy egy felület kifejthető, ha a felület megfelelő bemetszésekkel, de nyújtás és zsugorítás nélkül síkba teríthető úgy, hogy a felület tetszőleges két pontját összekötő bármely görbeívnek olyan görbeív felel meg, melynek ívhossza megegyezik az eredeti görbeív hosszával. Belátható, hogy a vonalfelület pontosan akkor kifejthető, ha a felület bármely alkotója mentén állandó az érintősík. Ezzel ekvivalens kritérium, hogy az alkotók mentén a felületi normálisok párhuzamosak és azonos irányításúak legyenek. Háromféle kifejthető felület létezik, a kúpfelület, a hengerfelület (nemcsak másodrendű kúp vagy henger!) és a térgörbék érintőfelülete. Ez utóbbi az térgörbe esetén

alakban írható fel.

Az tengelyű, paraméterű, sugarú hengeres csavarvonal érintőfelülete tehát

A vonalfelületek előállítására használt módszer általánosítható. Az általánosítás abban áll, hogy az adott görbepárt nem lineáris, hanem magasabb fokszámú görbékkel interpoláljuk, amihez természetesen további adatokra van szükség. Erre láthatunk példát a bikubikusan súlyozott Coons-foltok esetén (lásd a 8.2. szakaszt).

További általánosításnak tekinthető, amikor nemcsak két görbe adott, hanem görbék sorozata (ezen görbék a tervezendő objektum metszetei), és ezekre kell illesztenünk felületet.

Adottak az görbék, és az egymástól különböző , paraméterértékek.

Keresünk olyan felületet, melyre

teljesül.

Ezen felületmodellezés angol elnevezése cross sectional design vagy skinning. Ezeket a módszereket leggyakrabban hajótest és repülőgéptörzs tervezésére használják.