Felületek széles osztálya adható meg

alakban, ahol tetszőleges görbe, pedig olyan -es mátrix, melynek elemei az paraméter függvényei. Az így kapott felület nem más, mint egy egyparaméteres - az paramétertől függő - görbesereg által súrolt felület. A (7.1) kifejezés úgy is értelmezhető, hogy a görbe folytonosan mozog a térben - a mozgás során esetleg az alakja is változik -, és a görbe különböző helyzetei határozzák meg a felületet. A kifejezésben homogén koordinátákat használtunk, azaz . Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a mozgás itt pusztán a helyváltoztatást jelenti, nem pedig a mozgást, mint geometriai ponttranszformációt.

Az mátrix egyszerű mozgási transzformációk - mint például tengely körüli forgás vagy csavarás - esetén könnyen megadható. A mátrix előállítása azonban nem mindig ilyen egyszerű vagy kényelmes, ezért a mozgó görbe által súrolt felületek modellezésénél a mozgás megadására más technikákat használunk. A különböző megadási módok ismertetése során természetesen azt is megvizsgáljuk, hogy a szemléletes geometriai adatokból hogyan állítható elő a mátrix.

Forgásfelület egyértelműen megadható a forgástengellyel és a forgatandó görbével. Ezekből az adatokból a forgást leíró mátrix könnyen felírható. A csavarfelület paraméteres alakja a csavartengely, a csavarodás paramétere és a csavarandó görbe ismeretében egyértelműen felírható. Ugyancsak egyszerűen kezelhető az az eset, amikor az mátrix eltolási transzformációt ír le. Ez a speciális transzlációs felület egyértelműen megadható az eltolás irányvektorával és az eltolandó görbével.

A fenti példák egy-egy speciális felületosztály modellezésére alkalmas módszert mutattak. Ezeknél lényegesen átfogóbb modellezési technika, amikor a görbét egy görbe mentén mozgatjuk. A görbét generáló görbének, -t pedig vezérgörbének vagy direktrixnek nevezzük. A két görbe még nem határoz meg egyértelműen egy felületet, mivel a generáló görbe helyváltoztatását ezek az adatok nem határozzák meg egyértelműen. Ezért a fenti adatokon kívül még meg kell adni a generáló görbe tájolását. Kétféle tájolást szoktak használni. Az egyik a párhuzamos eltolás, a másik esetben pedig a vezérgörbe kísérő triéderéhez kapcsoljuk a generáló görbét.

Ha a generáló görbe úgy mozog a vezérgörbe mentén, hogy bármely két helyzete párhuzamos eltolással átvihető egymásba, akkor a felület

alakban írható fel. Nem szükséges, hogy a generáló görbe messe a vezérgörbét, ugyanis a vezérgörbe csak a mozgás jellegét határozza meg és nem feltétlenül illeszkedik a felületre. A (7.1) szerinti leíráshoz szükséges mátrix

Ezeket a felületeket transzlációs felületeknek szokták nevezni. Érdekes tulajdonságuk, hogy a twist-vektoruk bármely pontban a nullvektor, ugyanis

A transzlációs felületek fontos speciális esete az, amikor a vezérgörbe egyenes. Geometriailag ezek általános hengernek tekinthetők, műszaki megközelítéssel pedig azt mondhatjuk, hogy az extrudálás során fellépő alakformálást írják le, ezért ezeket extrudált felületeknek is szokás nevezni.

7.5. ábra - A generáló görbe a vezérgörbe kísérő triéderéhez kapcsolt

A generáló görbének a vezérgörbe kísérő triéderéhez kapcsolása a következőket jelenti. A vezérgörbe pontjában vett kísérő triédere által meghatározott koordináta-rendszerbe transzformáljuk a generáló görbét. A kísérő triéder a vezérgörbe mentén folytonosan változik (mozog), és vele együtt a hozzá rögzített generáló görbe is. (Most eltekintünk a generáló görbe esetleges alakváltozásától.) Ez a folyamat a 7.5. ábra jelöléseit használva az alábbi lépésekkel írható le:

Az és mátrixok

alakban írhatók fel, a felület leírásához szükséges mátrix pedig

A két tájolás használatával általában teljesen különböző felületet kapunk (lásd a 7.6. ábrát).

A kísérő triéderhez kapcsolt tájolás esetén nehézséget okoz, ha a triéder az érintővektor körül hirtelen elfordul (megpördül). Ezzel a jelenséggel találkozhatunk a vezérgörbe nulla görbületű pontja környezetében, de problémát okoznak a nagy torziójú pontok, valamint, ha a vezérgörbe egyenes szakaszt tartalmaz (nincs a normális értelmezve). Ezt illusztrálja a 7.7. ábra.

Ezért a gyakorlatban sokszor nem a kísérő triédert használjuk, hanem vesszük a kezdőpontbeli kísérő triédert (de elég egy olyan ortonormált vektorhármas is, melyből a görbe kezdőpontbeli érintője) és ezt úgy vezetjük végig a vezérgörbén, hogy mindig az aktuális érintőn legyen, a triédernek a köri forgása pedig minimális. Ezt forgásminimalizáló triédernek (Rotation Minimizing Frame - RMF) nevezzük, mely előállítására többféle módszer létezik. A 7.8 ábrán láthatjuk a forgást minimalizáló eljárás hatását.

Speciális esetként előállíthatjuk a forgás- és csavarfelületeket. Forgásfelületet kapunk, ha a vezérgörbe olyan kör, melynek középpontja a forgástengelyen van, síkja merőleges a forgástengelyre, a generáló görbe pedig a forgásfelület egy tetszőleges felületi görbéje, amit a vezérgörbe kísérő triéderéhez kapcsolunk (lásd a 7.9. ábrát).

Csavarvonal vezérgörbéjű csőfelületet súrol a mozgó görbe, ha a vezérgörbe olyan csavarvonal, mely paramétere és tengelye megegyezik az előállítandó csavarfelület paraméterével és tengelyével (lásd a 7.10. ábrát).

A generáló görbének a helyváltoztatás során az alakja is változhat. Így például körkúpot állíthatunk elő kör eltolásával, ha a mozgó kör sugara lineárisan változik. Ez

alakban írható fel. Ennél általánosabb a 7.11. ábrán látható csőfelület. Ennek vezérgörbéje az koordinátasíkban fekvő parabola, generáló görbéje a egységnyi sugarú kör. A kör sugara pedig az függvény szerint változik. A felület

alakban írható fel, ahol a (7.2) szerint előállított mátrix.

Természetesen olyan alakváltozás is lehetséges, amikor a generáló görbe nem hasonlósági transzformácón megy át. Erre láthatunk példát a következő szakaszban.