9.2. 9.2. B-szplájn-felületek

A B-szplájn-felületek egy újabb részhalmazát képezik a (7.3) kifejezéssel definiált tenzori szorzattal előállított felületeknek. A B-szplájn-felület tehát az

kifejezéssel írható fel, ahol a pontokat kontrollpontoknak (vagy de Boor-pontoknak), az általuk meghatározott hálót kontrollhálónak nevezzük. a -edfokú, az -edfokú normalizált B-szplájn alapfüggvényt jelöli (lásd a 4.1. definíciót), amihez természetesen szükségesek az és csomóértékek, továbbá és .

Itt is, mint a Bézier-felületeknél, a felülettel kapcsolatos problémák visszavezethetők görbékre vonatkozó feladatokra. Ennek köszönhetően a B-szplájn-görbék legtöbb tulajdonsága átöröklődik a felületekre. A (9.4) felület paramétervonalai B-szplájn-görbék. Például a paramétervonal kontrollpontjai az

pontok, a paramétervonal pedig a

B-szplájn-görbe.

A B-szplájn-felület, úgy mint a B-szplájn-görbe, lokálisan változtatható, vagyis egy kontrollpontnak csak az , folton van hatása a felületre. A pont helyének megváltoztatása csak ennek a foltnak a változását eredményezi. Ez a B-szplájn-görbékre vonatkozó 4.11. tételből következik. Más megfogalmazásban ez azt jelenti, hogy az , foltot a , kontrollpontok határozzák meg.

A B-szplájn-görbe íveinek konvex burok tulajdonsága is átöröklődik. Ez azt jelenti, hogy a (9.4) felület valamely ; pontja a , kotrollpontok konvex burkában van (lásd a 4.12. tételt).

A felületnek valamely pontja nemcsak a (9.4) kifejezés kiértékelésével, hanem a de Boor-féle algoritmus ismételt alkalmazásával is meghatározható. Először például meghatározzuk a paramétervonal kontrollpontjait, majd ezen kontrollpontok által meghatározott görbén az pontot a de Boor-féle algoritmussal. Természetesen fordított irányban is meghatározhatjuk a pontot, azaz először az paramétervonal kontrollpontjait, majd ezen a pontot. Az eredmény ugyanaz lesz, de esetén a de Boor-féle algoritmus alkalmazásainak száma nem egyezik meg.

9.2.1. 9.2.1. Csomóérték beszúrása

Ha a kontrollhálójával, valamint illetve irányú fokszámával és csomóértékeivel adott B-szplájn-felület nem változtatható kellő mértékben, akkor célszerű új csomóértéket beszúrni. ( vagy , vagy mindkét irányban). A csomóértékek beszúrásának másik alkalmazása a B-szplájn-felület Bézier-pontjainak meghatározása, vagyis a B-szplájn-felületnek egymáshoz megfelelő rendben folytonosan kapcsolódó Bézier-felületekkel való leírása. A csomóértékek beszúrása természetesen nem változtatja meg a felület alakját. A 9.4) B-szplájn-felületen egy , multiplicitású csomóérték -szeres beszúrása a következő új kontrollpontokat eredményezi (lásd a 4.19. tételt):

ahol és

A felület pedig

ahol az új irányú csomóértékek

Ez az inzertálás a de Boor-féle algoritmussal elvégezhető (lásd a 4.18., 4.19. tételeket). Egy csomóérték inzertálása a fentiekhez hasonló módon végezhető el.

Ha a B-szplájn-felület csomóértékeinek inzertálásával elérjük, hogy minden multiplicitása , és minden multiplicitása legyen, akkor az ennek az állapotnak megfelelő kontrollpontok a B-szplájn-felület Bézier-pontjai. Ekkor a B-szplájn-felület folytonosan kapcsolódó Bézier-felületekből áll, az egyes foltok az , illetve paramétervonalak mentén kapcsolódnak egymáshoz. A folytonos kapcsolódás rendje -tól, illetve -től, valmint a csomóértékek multiplicitásától függ (lásd a 4.15. tételt).

9.2.2. 9.2.2. Deriválás

A B-szplájn-felület deriválása – pontosabban , illetve szerinti parciális deriváltjának meghatározása – is visszavezethető a B-szplájn-görbe deriválására.

Az

felület szerinti parciális derivátja az helyen a 4.4. szakasz alapján

A szerinti parciális derivált a helyen a fentiekhez hasonlóan

9.2.3. 9.2.3. Zárt felületek modellezése

Zárt felületeket periodikus B-szplájn alapfüggvények (lásd a periodikus B-szplájn-görbe 4.22. definícióját) segítségével célszerű modellezni. A csak egyik irányban periodikus alapfüggvényekkel csőszerű, a mindkét irányban periodikusakkal tórusz-szerű felületek modellezhetők. A 9.5. ábrán a Dupin-féle ciklid mindkét irányban harmadfokú periodikus B-szplájn-felülettel való közelítését láthatjuk.

9.5. ábra - Dupin-féle ciklid approximációja mindkét irányban harmadfokú periodikus B-szplájn-felülettel

Dupin-féle ciklid approximációja mindkét irányban harmadfokú periodikus B-szplájn-felülettel

A Tubular honlapon található demonstrációs programmal csőszerű B-szplájn-felületek modellezhetők.